MASTERCLASS M1
Théorie Analytique des Nombres & Probabilités-Statistiques
Du lundi 19 au vendredi 23 janvier 2026
2 THÉMATIQUES
Cette Master Class est organisée en janvier 2026 à l’Institut Élie Cartan de Lorraine. Elle aura lieu à Nancy du lundi 19 janvier au vendredi 23 janvier, et sera en 2 parties :
- Partie 1 : du lundi après-midi au mercredi midi sur la Théorie Analytique des Nombres ;
- Partie 2 : du mercredi après-midi au vendredi midi sur les Probabilités et Statistiques.
Il est possible de suivre les deux parties ou seulement l’une des deux. Les deux parties présentent des aspects complémentaires des interactions entre géométrie et analyse. La Master Class s’adresse principalement aux étudiantes et étudiants de M1, mais pourra également intéresser les étudiantes et étudiants de M2 ou de doctorat dans ces thématiques.
Le but de la Master Class est de faire découvrir des directions actuelles de recherche dans les domaines mentionnés, dans un environnement de travail agréable permettant des interactions avec les chercheurs et chercheuses invités. Chaque partie consistera en trois ou quatre mini-cours de 2h à 4h chacun. Les exposés seront donnés par Nicolas Champagnat (Institut Elie Cartan de Lorraine), Anne de Roton (Institut Elie Cartan de Lorraine), Youness Lamzouri (Institut Elie Cartan de Lorraine), Mylène Maida (Univ. Lille), Régine Marchand (Institut Elie Cartan de Lorraine), Ester Mariucci (Univ. Versailles Saint-Quentin), Bruno Martin, (Univ. Littoral), Cathy Swaenepoel (Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche).
Du lundi après-midi au mercredi midi
Cathy Swaenepoel
Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive
Gauche, Université Paris Cité, Sorbonne Univ.
Cours de 4h
Les nombres premiers
Résumé :
Les nombres premiers peuvent être vus comme des briques de base permettant de construire les nombres entiers avec l’aide de la multiplication. Malgré la simplicité de leur définition, ils paraissent souvent insaisissables tant les problèmes qui les concernent peuvent être difficiles à résoudre. Des travaux tentent d’en percer les mystères depuis des siècles, apportant parfois des réponses et souvent aussi de nouvelles questions. Ces dernières années, la recherche sur les nombres premiers a connu des avancées spectaculaires. Nous présenterons une sélection de résultats, problèmes ouverts et conjectures sur les nombres premiers afin d’illustrer la richesse de leur étude.
Bruno Martin
LMPA, Univ. Littoral
Cours de 4h
Le problème des diviseurs
de Dirichlet
Résumé :
Pour chaque nombre entier $n$, notons $d(n)$ son nombre de diviseurs.
Le problème des diviseurs de Dirichlet consiste à comprendre, aussi finement que possible, comment se comporte la somme
$$\sum_{n=1}^N d(n)$$
lorsque $N$ tend vers $+\infty$.
Ce problème, étudié pour la première fois par Dirichlet en 1838, a ouvert la voie à de nombreuses recherches en théorie analytique des nombres.
Il servira ici de fil conducteur pour découvrir plusieurs méthodes classiques de la discipline, ainsi que diverses façons d’appréhender l’étude d’une fonction arithmétique.
Anne de Roton
Institut Elie Cartan de Lorraine
Univ. Lorraine
Cours de 2h
Théorie additive des nombres
Résumé :
En 1953, Roth démontra que tout ensemble d’entiers de densité supérieure positive contient des progressions arithmétiques de longueur trois. L’amélioration quantitative de ce théorème et sa généralisation à d’autres équations a donné lieu à de très nombreux travaux et au développement de puissants outils de combinatoire. Les résultats récents (2023) de Kelley-Meka et Bloom-Sisask se rapprochent d’une formulation quantitative optimale.
La démonstration originelle du théorème de Roth repose sur une idée naturelle : ne pas contenir de progressions arithmétiques pour un gros ensemble d’entiers révèle un défaut d’uniformité. Il s’agit ensuite d’exploiter ce biais, via l’analyse de Fourier discrète, pour obtenir des informations sur la structure de l’ensemble et in fine, une contradiction.
Nous parcourrons la preuve de ce beau théorème et donnerons quelques éléments schématiques pour expliquer les ajouts des travaux ultérieurs des années 1980 jusqu’à nos jours.
Youness Lamzouri
Institut Elie Cartan de Lorraine
Cours de 2h
La fonction zeta de Riemann
Résumé :
La fonction zêta de Riemann, notée $\zeta(s)$, est l’un des objets les plus fascinants de l’analyse et de la théorie des nombres. Introduite par Euler pour les valeurs réelles $s>1$, elle fut profondément généralisée par Riemann dans son célèbre mémoire publié en 1859 (son unique travail en théorie des nombres). Dans cet article d’à peine huit pages, Riemann établit le prolongement méromorphe de la fonction zêta au plan complexe, et démontre plusieurs de ses propriétés analytiques, notamment l’équation fonctionnelle qui relie les valeurs $\zeta(s)$ and $\zeta(1-s)$. Il y formule également sa fameuse conjecture (qui est l’un des 7 problèmes du prix du millénaire) : l’hypothèse de Riemann, selon laquelle tous les zéros non triviaux de $\zeta(s)$ ont une partie réelle égale à $1/2$.
Cependant, l’innovation majeure de Riemann réside dans l’introduction d’une « formule explicite », qui relie la répartition des nombres premiers aux zéros de $\zeta(s)$. Cette relation a inauguré un pont conceptuel entre l’analyse complexe et la théorie des nombres.
Dans ce mini-cours, nous présenterons les idées principales de ce mémoire, la structure analytique de la fonction zêta, les conséquences de la formule explicite, ainsi que les développements modernes qui en découlent.
Du mercredi après-midi au vendredi après-midi
Ester Mariucci
Univ. Versailles Saint Quentin
Cours de 4h
Inférence pour les processus à sauts : des Poisson composés aux processus de Lévy
Résumé : De nombreux phénomènes financiers, physiques ou biologiques se traduisent par des trajectoires càdlàg, qui peuvent se modéliser via des processus à sauts. Ce mini-cours propose une introduction à l’inférence statistique pour les processus de Lévy, dont les trajectoires càdlàg offrent un cadre naturel pour étudier la dynamique des sauts.
Nous commencerons par présenter la classe des processus de Lévy, en insistant sur certaines propriétés probabilistes fondamentales permettant de caractériser leur structure de sauts. Dans un second temps, nous aborderons la question de l’estimation à partir d’observations discrètes d’une trajectoire. Nous nous concentrerons d’abord sur le cas des processus de Poisson composés, qui constituent un cadre à la fois riche et tractable pour développer les méthodes d’inférence. Nous discuterons :
- de l’estimation de l’intensité du processus (nombre moyen de sauts par unité de temps),
- puis de l’estimation non paramétrique de la loi des sauts d’un processus de Poisson composé générique.
Enfin, si le temps le permet, nous montrerons comment ces résultats peuvent servir de point de départ pour l’inférence dans la classe plus générale des processus de Lévy.
Nicolas Champagnat
IECL
Univ. Lorraine
Cours de 2h
Modélisation probabiliste en biologie et dynamique de population
Résumé à venir
Antoine Lejay
IECL
Univ. Lorraine
Cours de 1h30
Quelles mathématiques dans les grands modèles de langue (LLM) ?
Résumé: Les grands modèles de langues (LLM, Large Language Models) de type ChatGPT, Bert, Claude ou Deepseek, se sont très rapidement imposés dans de nombreux domaines. Afin de mieux en comprendre les enjeux scientifiques, nous présenterons quelques outils tirés de l’algèbre linéaire, des probabilités, de la statistique, de l’optimisation et de l’informatique, qui y sont utilisés.
Programme
Lundi 19 janvier
Mardi 20 janvier
Mercredi 21 janvier
Jeudi 22 janvier
Vendredi 23 janvier
9h – 9h30
Petit-déjeuner
(Amphi 3)
9h30 – 11h
Cathy Swaenepoel
9h00 – 9h30
Petit-déjeuner
(Amphi 3)
9h30-11h
Bruno Martin
8h30 – 9h
Petit-déjeuner
(Amphi 3)
9h – 10h
Nicolas Champagnat, I
8h30 – 9h
Petit-déjeuner
(Amphi 3)
9h – 10h
Nicolas Champagnat, II
11h15-12h15
Youness Lamzouri
11h15-12h15
Anne de Roton
10h15 – 12h15
Ester Mariucci, II
10h15 – 12h15
Mylène Maida, II
Pause déjeuner
13h
Accueil Masterclass Théorie Analytique des Nombres
(Amphi 3)
13h30 – 15h
Cathy Swaenepoel
13h30-15h
Bruno Martin
15h-15h15
Samuel Tapie
Présentation du M2 MFA 2026-2027
13h15-13h45
Accueil Masterclass Probabilités et Statistiques
13h45 – 15h45
Ester Mariucci, I
13h15 – 15h15
Mylène Maida, I
15h30-16h30
Anne de Roton
15h45-17h15
Cathy Swaenepoel\
16h – 17h30
Antoine Lejay
15h30 – 17h
Régine Marchand
16h45-17h45
Youness Lamzouri
16h45-17h45
Bruno Martin
17h15 – 17h30
Samuel Tapie
Présentation du M2 MFA 2025-2026
Institut Élie Cartan de Lorraine
19 au 23 janvier 2026
Contact
Site de Nancy
Faculté des Sciences et Technologies
Campus, Boulevard des Aiguillettes
54506 Vandœuvre-lès-Nancy
Du lundi au vendredi
cecile.dartyge@univ-lorraine.fr (théorie analytique des nombres), anne.de-roton@univ-lorraine.fr (théorie analytique des nombres), youness.lamzouri@univ-lorraine.fr (théorie analytique des nombres), pascal.moyal@univ-lorraine.fr (probabilités et statistiques), samuel.tapie@univ-lorraine.fr (organisation), gianluca.pacienza@univ-lorraine.fr (organisation)
Inscription
L’inscription à la masterclass est gratuite mais obligatoire pour des questions d’organisation.
Les candidatures de mathématiciennes sont encouragées et leurs demandes d’aide financière seront examinées avec une attention particulière.
Nous pouvons couvrir les frais de logement d’un certain nombre de participantes et participants en chambre individuelles de résidence universitaire. Merci de le préciser dans votre inscription, en l’accompagnant d’une lettre de motivation pour votre participation à cette masterclass. Les demandes seront examinées par ordre d’arrivée.
Nous ne pouvons pas financer le trajet vers Nancy des participants. Merci de vous rapprocher du laboratoire de mathématique ou du département de mathématique de votre université : c’est le plus souvent possible qu’ils financent votre trajet. Nous disposons de quelques bourses de voyages pour des situations exceptionnelles, merci de détailler votre situation si vous pensez pouvoir en bénéficier.
Les inscriptions avec demande de financement sont ouvertes jusqu’au 15 novembre 2025. Les inscriptions sans demande de financement sont ouvertes jusqu’au 13 décembre 2025.
