PhD students

In this talk, we begin by examining the application of curvature flows to a broad range of geometric problems. Following this, we introduce the essential geometric concepts required to understand these flows. Thereafter we focus on the mean curvature flow and its singularities. In particular, we give an intuitive and accessible proof of why singularities must occur if the initial surface is compact. After conducting a graphical analysis of various types of singularities, we describe how these singularities can be modeled by self-similar solutions of the mean curvature flow. Motivated by this, we conclude the presentation by exploring a current area of research: investigating the behavior of solutions that are in the proximity of such self-similar solutions.

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Le retournement de sous-mot est une méthode combinatoire, introduite par Patrick Dehornoy en 1992, pour étudier des monoïdes définis par une présentation, un exemple bien connu de tels monoïdes est le monoïde de tresses. Dans une première partie, je définirai des notions naturelles de divisibilité sur les monoïdes. Ensuite, dans une deuxième, je présenterai la méthode de retournement de sous-mot, en particulier, son utilité pour calculer des ppcm, des pgcd, résoudre le problème de mot… Pour finir, dans une troisième partie, j’appliquerai cette méthode sur des exemples de monoïdes définis par une présentation.

Dans une première partie, je vous présenterai le modèle HMF Poisson
(Hamiltonian mean field model) et expliquerai dans quel contexte il
apparaît. Je définirai ensuite la notion de stabilité orbitale. Puis dans
un second temps, je démontrerai la stabilité orbitale des états
stationnaires qui sont solutions d’un problème de minimisation à une
contrainte. Pour finir, j’expliquerai comment il est possible de démontrer
la stabilité orbitale d’une classe plus grande d’états stationnaires.

A tout groupe de type fini, on peut associer un graphe, appelé graphe de Cayley. De cette façon, le groupe devient un espace métrique sur lequel il est possible de se promener. Dans cet exposé, on va s’intéresser aux liens entre marche
aléatoire sur ce graphe et propriétés (géo)métriques et algébriques du
groupe en question. On parlera d’un théorème de Polya, de géométrie à grande échelle et du paradoxe de Banach-Tarski, avec plein d’exemples : des groupes libres aux groupes abéliens en passant par les groupes d’allumeurs de réverbères.

Ces travaux, à la fois théoriques et numériques, portent sur la mise au point d’une méthode de calcul
rapide des effets des explosions aériennes en géométrie complexe. On se base pour cela sur des modèles
hyperboliques simplifiés de propagation d’ondes de choc du type Geometrical Shock Dynamics (GSD) et
Cinématique, où seul le front incident est modélisé (passage du 3D/5 équations pour les équations d’Euler au
2D/2 équations). L’analyse du problème de Riemann fait apparaitre une absence de solution pour le problème
de la diffraction d’un choc faible sur un coin convexe. Nous levons cette limitation au travers d’une extension
ad-hoc du modèle. L’effet de souffle consécutif à une explosion ponctuelle est ensuite introduit à partir d’une
loi pression/distance basée sur les résultats de simulations des équations d’Euler avec détonique. Un
algorithme lagrangien conservatif de suivi de front est développé en 2D. Des tests numériques montrent que
ce nouveau modèle se compare très favorablement à l’expérience, avec une réduction importante du temps
de calcul.

Le but de l’exposé est d’expliquer ce qu’est un groupe algébrique. L’exposé se veut accessible aux non-algébristes. Je commencerai par définir la topologie de Zariski sur un espace vectoriel, les variétés affines et les groupes algébriques. Je donnerai ensuite quelques exemples de ces objets et quelques propriétés. Si le temps le permet, je donnerai quelques exemples de variétés projectives qui interviennent dans le contexte des groupes algébriques réductifs (notamment les variétés de Schubert).

Le préconditionnement est couramment utilisé pour réduire l’effet des erreur numériques pour la résolution de systèmes linéaires.
Dans cet exposé nous proposons de l’utiliser pour stabiliser des schémas de résolution d’EDP paraboliques à l’aide de schémas type RSS.
Des applications de ce schémas sont données pour la résolution d’équations issues de la mécaniques des fluides (Équation de Navier-Stokes) mais aussi des équations utilisées en traitement des images (équations d’Allen-Cahn et Cahn-Hilliard).

Dans cet exposé, nous nous intéressons à la représentation et à la prise en compte des incertitudes dans les systèmes de prévision hydrologique probabilistes à moyen-terme. Ces incertitudes proviennent principalement de deux sources : (1) de l’imperfection des prévisions météorologiques (utilisées en intrant de ces systèmes) et (2) de l’imperfection de la représentation du processus hydrologique par le simulateur pluie-débit (SPQ) (au cœur de ces systèmes).

La performance d’un système de prévision probabiliste s’évalue par la précision de ses prévisions conditionnellement à sa fiabilité. L’approche statistique que nous suivons procure une garantie de fiabilité à condition que les hypothèses qu’elle implique soient réalistes. Nous cherchons de plus à gagner en précision en incorporant des informations auxiliaires.

Nous proposons, pour chacune des sources d’incertitudes, une méthode permettant cette incorporation : (1) un post-traitement des prévisions météorologiques s’appuyant sur la propriété statistique d’échangeabilité et permettant la prise en compte de plusieurs sources de prévisions, ensemblistes ou déterministes ; (2) un post-traitement hydrologique utilisant les variables d’état des SPQ par le biais d’un modèle Probit arbitrant entre deux régimes hydrologiques interprétables et permettant ainsi de représenter une incertitude à variance hétérogène.
Ces deux méthodes montrent de bonnes capacités d’adaptation aux cas d’application variés fournis par EDF et Hydro-Québec, partenaires et financeurs du projet. Elles présentent de plus un gain en simplicité et en formalisme par rapport aux méthodes opérationnelles tout en montrant des performances similaires.

Après avoir énoncé le formalisme des C*-algèbres commutatives en m’appuyant sur le cas simple de C_0(X) où X est un espace localement compact,
je donnerai un exemple de problème à N-corps quantique qui permet de construire une C*-algèbre dont nous déterminerons le spectre.
Il existe une action naturelle de R^n sur cette C*-algèbre. Si le temps me le permet, je donnerai des détails sur le spectre du produit
croisé de cette C^*algèbre par R^n.

La variété des caractères d’un groupe de type fini vers un groupe algébrique complexe est (à peu de choses près) l’ensemble des classes de conjugaisons de représentations de ce groupe de type fini vers le groupe algébrique complexe.
Cette variété peut avoir des singularités algébriques. Nous allons nous intéresser au cas où le groupe de type fini est un groupe libre ou un groupe de surface et le groupe algébrique complexe est PSL(p,C) avec p premier.
En particulier, nous montrerons que la classe de conjugaison d’une représentation irréductible dont le centralisateur est non-trivial est une singularité algébrique de la variété des caractères. Si le temps le permet, nous verrons des contre-exemples à cette propriété si l’on change le groupe de type fini.