PhD students

Wednesday 20/05 – MSA 2.240 :

• • 12:30 – 14:00 : Lunch + Poster Session

• • 14:00 – 14:45 : Javier Fernandez Piriz – University of Luxembourg
    
    Grassmannians and representations of Lie groups

    Grassmannians are objects endowed with rich geometrical structures that have been studied in algebraic geometry since the 19th century. A useful way to understand these spaces is through the seemingly unrelated theory of representations of Lie groups. The goal of this talk is to present a brief overview of the interplay between these fields and to motivate how computers are useful in answering many related questions.

• • 14:45 – 15:30 : Rodolphe Abou Assali – IECL
    
    Steklov problems and spectral inequalities in planar domains

    Classical spectral problems, such as the Dirichlet and Neumann problems, focus on the analysis of eigenvalues and eigenfunctions with applications to heat conduction, sound propagation, and vibrational modes in domains with boundaries. Other well-known problems are the Steklov and biharmonic Steklov problems with various boundary conditions. Kuttler and Sigillito established fundamental inequalities relating the eigenvalues of these problems in planar domains. These results were later extended to the scalar case on Riemannian manifolds by Hassannezhad and Siffert. We recently generalized these inequalities to the setting of differential forms. In this talk, we present these spectral problems and the Kuttler-Sigillito inequalities in planar domains, and briefly discuss their generalization.

• • 15:30 – 16:00 : Break

• • 16:00 – 16:45 : Quirijn Boeren – University of Luxembourg
    
    Cusps in the AdS/CFT correspondence

    The AdS/CFT correspondence is a powerful tool in theoretical physics, relating string theories on hyperbolic (Anti-de Sitter) manifolds to a conformal field theory on a boundary manifold. It provides some of the most promising models of quantum gravity. As often in theoretical physics the theory struggles with divergences. I will walk you through one such divergence, caused by a construction from hyperbolic geometry: a manifold with cusp—a puncture at infinite distance—can generate infinite summands to the relation, producing a divergence.

• • 16:45 – 17:30 : Valentin Clarisse – IECL
    
    General relativity and Gregory-Laflamme instability

    The Einstein equations are central to general relativity. They relate the geometry of spacetime to the distribution of matter within it. As we will see later, they form a particularly challenging system of partial differential equations to study. The first major breakthrough in mathematical relativity was achieved by Y. Choquet-Bruhat, who proved in 1952 the local-in-time existence of solutions to the Einstein equations viewed as an evolution problem. More recently, in 1993 and 1994, R. Gregory and R. Laflamme numerically demonstrated the instability of certain types of black string extensions in dimensions greater than or equal to $5$. In 2012, R.M. Wald and S. Hollands developed a fairly general method and criterion for studying the linear stability of black holes, which can be applied to establish Gregory–Laflamme-type instabilities. The article we will focus on, which is more accessible, comes from the doctoral thesis of Sam C. Collingbourne. It was submitted in 2020 and is entitled The Gregory-Laflamme Instability of the Schwarzschild Black String Exterior. It provides a direct mathematical proof of the Gregory–Laflamme linear instability in dimension $5$.

Thursday 21/05 – MSA 2.240 :

• • 9:00 – 9:45 : Katarzyna Szczerba – University of Luxembourg
    
    AI-informed Non-linear Cox Regression for Time-to-event Analysis

    The Cox proportional hazards model is the most commonly used method for multivariate survival analysis. Despite its many advantages, such as simplicity and interpretability, it has a serious drawback: it fails to capture non-linear relationships. In this study, we propose AI-informed Non-linear Cox Model, a method that uses insights from a highly predictive machine learning model, extracted with an interpretable machine learning tool, to integrate non-linear relationships into the traditional Cox model via means of splines. On simulated data with a deliberately introduced non-monotonic relationship between the predictor and the outcome variable, the AI-informed Cox model outperformed the traditional proportional hazards (PH) Cox model. Its concordance index (C-index) was also comparable to that of the best-performing machine learning model – gradient boosted Cox model. Similar results were observed when the models were applied to a prospective dataset in running.

• • 9:45 – 10:30 : Yingtong Hou – IECL
    
    Butcher series: from ordinary differential equations to Rough Path Theory and Regularity Structures

    In this talk, I will give a gentle introduction to Butcher series (B-series), Rough Path Theory, Regularity Structures, and their underlying Hopf algebras. Rough Path Theory and Regularity Structures provide pathwise frameworks for solving rough differential equations (RDEs) and singular stochastic partial differential equations (SPDEs), respectively. We will see that all these pathwise solution ansatz are obtained from iterating Taylor expansions. Therefore, Rough Path Theory and Regularity Structures can be viewed as generalisations of B-series designed for solving ordinary differential equations (ODEs). I will present the derivation of B-series-type solution ansatz for ODEs, RDEs, and SPDEs. Rooted trees and Hopf algebras appear naturally in encoding the expansions of solution ansatz. No prior background knowledge in rough analysis is required. Familiarity with Taylor expansions will be sufficient.

• • 10:30 – 11:00 : Break

• • 11:00 – 11:45 : Luís Maia – University of Luxembourg
    
    Fractional Brownian Fields at H=0: Constructions and Limit Theorems

    Fractional Brownian motion and fractional Brownian fields become singular at the endpoint H=0: the usual covariance degenerates. In this talk, I will explain two normalization that recover a meaningful object when $H=0$. The first, due to Neuman and Rosenbaum, treats one-dimensional fractional Brownian motion by subtracting a local average and rescaling. The second, due to Hager and Neuman, extends this idea to higher-dimensional fractional Brownian fields. In both cases, the normalized fields converge to log-correlated Gaussian distributions. I will then discuss results on Hermite functionals of these fields, both on fixed domains and on growing domains.

• • 11:45 – 12:30 : Juan Mardomingo-Sanz – IECL
    
    Slow-fast limits of stochastic particle systems arising in telomere biology

    The ends of linear chromosomes, called telomeres, shorten at each cell replication, eventually driving the cells to a senescent state when they become too short. The enzyme telomerase, present in cancerous cells and some unicellular organisms, elongates the telomeres and allows cells to continue replicating. Recent experiments show that if this enzyme is inactivated some rare survivors (ALT), which elongate their telomeres without telomerase, will appear and will eventually invade the cultures. I will present a simple stochastic particle system which accounts for the emergence and invasion of these ALT cells under an appropriate scaling with different speeds for each cell type.

• • 12:30 – 14:00 : Lunch

• • 14:00 – 14:45 : Szabolcs Buzogany – University of Luxembourg
    
    Galois and torsion-Kummer representations of elliptic curves

    The absolute Galois group $G_Q$ is the group of all isomorphisms from the field of all algebraic numbers to itself and remains a central object in contemporary number theory.
    A common way of studying $G_Q$ is to study its quotients, by the means of defining a group homomorphism between $G_Q$ and a well-studied group. Examples of these maps are Galois (respectively torsion-Kummer) representations, where the codomain is associated with n-torsion (respectively n-division points) of an elliptic curve. In this talk I will provide a gentle introduction to these representations.

• • 15:00 – 17:30 : Scavenger Hunt in the city (Luxembourg)

• • 19:00 : Social Dinner at Brasserie du Cercle (Luxembourg City)

Friday 22/05 – MSA 3.500 :

• • 9:00 – 9:45 : Gautier Schanzenbacher – IECL
    
    An Introduction to Hyperbolic Geometry: Surfaces, Geodesics, and Entropy

    For centuries, mathematicians tried to prove Euclid’s fifth axiom (the parallel postulate) using only the first four. In the 19th century, Gauss showed that replacing this axiom leads to a new, consistent geometry: non-Euclidean geometry. In particular, if we suppose that there are infinitely many lines parallel to a given line passing through a single point, we obtain Hyperbolic Geometry. In this talk, I will start from these foundations to define hyperbolic surfaces. We will then explore the world of curves, geodesics, and homotopy classes to understand the concept of entropy of the geodesic flow of a hyperbolic surface in the simplest way possible.

• • 9:45 – 10:30 : Francesco Tognetti – University of Luxembourg
    
    Who cares about coinduction?

    Everyone is familiar with the concept of (proof by) induction, though not as many are familiar with its dual. In this talk you will get an overview of what coinduction is, when it arises naturally and how it’s used throughout various areas of mathematics.

• • 10:30 – 11:00 : Break

• • 11:00 – 11:45 : Musbahu Idris – IECL
    
    Algorithmic Aspects of Newman Polynomials and Their Divisors

    A Newman polynomial is a polynomial with coefficients in ${0,1}$ and constant term $1$. We investigate which integer-coefficient polynomials divide a Newman polynomial, focusing on those with small Mahler measure. Using mixed-integer linear programming, we determine the divisibility status of all $8,438$ known polynomials with Mahler measure less than $1.3$. We further exhibit new polynomials that divide no Newman polynomial, improving the best known upper bound on a conjectural universal constant $\sigma$ to approximately $1.419$.

• • 11:45 – 12:30 : Francisco Pina – University of Luxembourg
    
    Statistics of Interacting Particle Systems

    Interacting particle systems can be seen as a system of N SDEs describing the evolution of a collection of agents whose behaviour depends not only on their own dynamics, but also on their interactions with the rest of the system. Such models arise in many different contexts, and a typical example is opinion dynamics, where the evolution of an individual’s opinion is influenced by the opinions of others.
    In this talk, we present the mathematical framework of interacting particle systems and discuss how statistical methods can be used to estimate the interaction law governing the system from observed particle trajectories. In particular, we introduce a nonparametric approach for estimating the underlying interaction function.

• • 12:30 – 14:00 : Lunch

Il existe plusieurs mesures de complexité pour les suites qui établissent des critères pour évaluer si une suite peut être considérée comme pseudo-aléatoire. Nous verrons que les suites automatiques, déterminées par un automate fini déterministe, comme la suite de Thue-Morse, ne rentrent pas dans cette catégorie car leur complexité en sous-mots fait défaut. Cependant, de récents résultats montrent que cette même suite, raréfiée le long des carrés, semble être un meilleur candidat pour être une suite pseudo-aléatoire. Dans cet exposé je parlerai de la généralisation de la borne inférieure de la complexité d’ordre maximal à toute une famille de suites automatiques, comprenant la suite de Rudin-Shapiro par exemple, le long de sous-suites polynomiales. Je terminerai en évoquant la représentation de Zeckendorf et de sa fonction somme des décimales qui rentre dans un cadre plus général que les suites automatiques.

Le Laplacien sur ℝⁿ possède une propriété très forte de régularité a priori : si Δu est infiniment dérivable, alors u l’est également. Cette propriété est caractéristique des opérateurs dits “elliptiques”, dont l’introduction sera l’objet de mon exposé. Sur les variétés compactes en particulier, l’étude de ces opérateurs a culminé dans la seconde moitié du XXè siècle avec le théorème de l’indice d’Atiyah et Singer, dont j’essaierai d’expliquer la portée. Je terminerai en montrant que ces deux propriétés ne tiennent plus, ou alors différemment, sur des espaces singuliers ou non compacts.

Les groupoïdes généralisent de nombreuses notions mathématiques : groupes, espaces topologiques, relations d’équivalences, action de groupes. On peut associer à tout groupoïde, une C*-aglèbre qui « encode » la structure de groupoïdes. Les groupoïdes agissent sur des objets fibrés. Par analogie des actions de groupes sur une C*-algèbre, les groupoïdes vont agir sur des C_{0}(X)-algèbres : ce sont des fibrés de C*-algèbres. Je présenterai les propriétés généralent des groupoïdes, la construction de la C*-algèbre d’un groupoïde et enfin rapidement la notion de C_0(X)-algèbres.

L’analyse harmonique vise à décomposer les phénomènes (souvent des fonctions) en constituantes plus simple à analyser, appelées « signaux ». Après avoir analysé ces constituantes, on recompose la fonction d’origine en essayant de conserver certaines propriétés. C’est donc l’approfondissement et la généralisation des concepts de série et transformée de Fourier. Elle a été largement appliquée en physique (elle vient en fait du questionnement des physiciens comme souvent au XXème siècle) : traitement des signaux, mécanique quantique, neurosciences. Nous verrons dans cet exposé comment généraliser ce concept aux groupes de Lie (appelé analyse harmonique sur les groupes de Lie) et quels sont les résultats connus aujourd’hui. Le lien avec les représentations des groupes sera aussi abordé.

Les groupoïdes généralisent de nombreuses notions mathématiques : groupes, espaces topologiques, relations d’équivalences, action de groupes. On peut associer à tout groupoïdes, une (C^*)-algèbre qui « encode » la structure de groupoïdes. Les groupoïdes agissent sur des objets fibrés. Par analogie des actions de groupes sur une (C^*)-algèbre, les groupoïdes vont agir sur des (C_0(X))-algèbres : ce sont des fibrés de (C^*)-algèbres. Je présenterai les propriétés générales des groupoïdes, la construction de la (C^*)-algèbre d’un groupoïde et enfin rapidement la notion de (C_0(X))-algèbres.

Le but de cet exposé est d’introduire la notion de L-infty algebroides et faire le lien avec les feuilletage singuliers. Je commencerai par rappeler la définition de L-infty algèbres (vu comme une généralisation des algèbres de Lie) et illustrer quelques exemples. Ensuite j’introduirai la définition de Lie infinie algebroides et présenter quelques resutats reliant les Lie infinie algebroides et les feuilletage singuliers.

Toute Lie infinie algebroides induit un feuilletage singuliers F (l’image de l’ancre). Une question naturelle est se demander si tout feuilletages singuliers provient d’une Lie infinie algébroide (lorsqu’elle existe on l’appelle “Lie infinie algébroide universelle de F”). Cette question en partie reste ouverte en revanche on connaît des cas où c’est toujours possible: dans le cas lisse, l’existence d’une résolution géométrique du feuilletage singulier est suffisant; dans le cas (localement ) analytique ou holomorphe elle existe toujours dans un voisinage de tout point de la variété. Cette Lie infinie algébroide lorsqu’elle existe elle est unique à homotopie près, ce qui justifie le nom “Lie infinie algébroide universelle”.

Dans le cadre de ma thèse, je m’intéresse à la simulation haute-fréquence de problèmes ondulatoires harmoniques en milieu non-homogène, qui posent d’importantes difficultés tant au niveau numérique que mathématique. D’un point de vue physique, ces problèmes décrivent la propagation d’ondes acoustiques en écoulement, aussi appelée aéroacoustique.

L’objectif principal est de développer une méthode de calcul parallèle efficace, dite de décomposition de domaine. Le principe est de partitionner le domaine de calcul en sous-domaines, puis d’itérer sur un problème défini aux interfaces qui connecte ces sous-domaines. La convergence de cette méthode dépend fortement de conditions de transmission définies aux interfaces.

Après vous avoir présenté le cadre de l’étude, je vous parlerai des outils mathématiques utilisés pour la construction de conditions de transmission appropriées. Ces outils sont issus de l’analyse microlocale et sont appliqués à l’opérateur Dirichlet-To-Neumann. Ensuite, je vous montrerai une application de la méthode pour un problème industriel 3D: le rayonnement acoustique d’un turboréacteur d’avion.

A un système quantique, on associe un espace de Hilbert. L’équation de Schrödinger sur cet espace permet d’étudier l’évolution des états de ce système dans le temps. Dans le cas où l’opérateur de Schrödinger est auto-adjoint, la solution de l’équation est donnée par un groupe unitaire. Les états asymptotiquement libres (c’est-à-dire se comportant en temps infini comme s’il n’y avait aucune interaction) correspondent au sous espace spectral absolument continu associé à l’opérateur de Schrödinger. Physiquement, on souhaite que l’image d’un état asymptotiquement libre par le groupe reste asymptotiquement libre. C’est ce qu’on appelle la complétude asymptotique.

Dans un premier temps je décrirai les axiomes qui permettent de décrire un système quantique. J’expliquerai ensuite quelque point de théorie spectrale ce qui nous permettra de définir les opérateurs d’ondes et de donner une définition mathématique de complétude asymptotique.

Intuitivement, un feuilletage est une partition d’une variété (M) en sous-variétés connexes de même dimension, appelées feuilles. On peut s’intéresser à l’espace des feuilles, défini comme le quotient de (M) par la relation d’équivalence (mathcal{R}) qui identifie deux points de (M) s’ils sont une une même feuille. Cependant, cet espace peut être très singulier. On construit alors le groupoïde d’holonomie, groupoïde de Lie qui contient (mathcal{R}). Nous illustrerons ces notions avec quelques exemples simples.

Le problème de Dirichlet sur un domaine lisse et borné (Omega subset mathbb{R}^n) est bien posé : il existe toujours une unique solution, et celle-ci possède la plus grande régularité possible. Lorsque (Omega) n’est pas lisse, par exemple pour un polyhèdre, cette dernière propriété n’est plus vraie. En faisant un changement de variable qui envoie la singularité “à l’infini”, je montrerai comment des résultats sur des variétés non-compactes permette de retrouver cette régularité.
Ce sera l’occasion d’évoquer quelques outils fondamentaux de l’analyse fonctionnelle : théorème de Lax-Milgram, inégalité de Poincaré…