PhD students

We consider branching Brownian motion (BBM), a random process
that describes the evolution of a particle population, reproducing and
moving independently. Beyond obvious biological motivations and its link
with the F-KPP equation, BBM can be seen as a toy model for spin
glasses, such as the Sherrington-Kirkpatrick model. In this perspective,
we will introduce the Gibbs measures of BBM. We will study some of their
properties, including their connection with the so-called additive
martingales. We will also study the maximal particle of BBM (or, from
the perspective of statistical physics, the ground state of the system).
A new martingale then appears, that is, the derivative martingale. If
time allows, we will briefly present an ongoing work with Gabriel Flath,
in which we obtain an almost sure path localization of the derivative
martingale.

Wednesday 20/05 – MSA 2.240 :

• • 12:30 – 14:00 : Lunch + Poster Session

• • 14:00 – 14:45 : Talk
    Title
    

    Abstract

• • 14:45 – 15:30 : Rodolphe Abou Assali – IECL
    Steklov problems and spectral inequalities in planar domains
    

    Classical spectral problems, such as the Dirichlet and Neumann problems, focus on the analysis of eigenvalues and eigenfunctions with applications to heat conduction, sound propagation, and vibrational modes in domains with boundaries. Other well-known problems are the Steklov and biharmonic Steklov problems with various boundary conditions.
    Kuttler and Sigillito established fundamental inequalities relating the eigenvalues of these problems in planar domains. These results were later extended to the scalar case on Riemannian manifolds by Hassannezhad and Siffert. We recently generalized these inequalities to the setting of differential forms.
    In this talk, we present these spectral problems and the Kuttler-Sigillito inequalities in planar domains, and briefly discuss their generalization.

• • 15:30 – 16:00 : Break

• • 16:00 – 16:45 : Talk
    Title
    

    Abstract

• • 16:45 – 17:30 : Valentin Clarisse – IECL
    General relativity and Gregory-Laflamme instability
    

    The Einstein equations are central to general relativity. They relate the geometry of spacetime to the distribution of matter within it.
    As we will see later, they form a particularly challenging system of partial differential equations to study. The first major breakthrough in mathematical relativity was achieved by Y. Choquet-Bruhat, who proved in 1952 the local-in-time existence of solutions to the Einstein equations viewed as an evolution problem.
    More recently, in 1993 and 1994, R. Gregory and R. Laflamme numerically demonstrated the instability of certain types of black string extensions in dimensions greater than or equal to $5$. In 2012, R.M. Wald and S. Hollands developed a fairly general method and criterion for studying the linear stability of black holes, which can be applied to establish Gregory–Laflamme-type instabilities.
    The article we will focus on, which is more accessible, comes from the doctoral thesis of Sam C. Collingbourne. It was submitted in 2020 and is entitled The Gregory-Laflamme Instability of the Schwarzschild Black String Exterior. It provides a direct mathematical proof of the Gregory–Laflamme linear instability in dimension $5$.

Thursday 21/05 – MSA 2.240 :

• • 9:00 – 9:45 : Talk
    Title
    

    Abstract

• • 9:45 – 10:30 : Yingtong Hou – IECL
    Butcher series: from ordinary differential equations to Rough Path Theory and Regularity Structures
    

    In this talk, I will give a gentle introduction to Butcher series (B-series), Rough Path Theory, Regularity Structures, and their underlying Hopf algebras. Rough Path Theory and Regularity Structures provide pathwise frameworks for solving rough differential equations (RDEs) and singular stochastic partial differential equations (SPDEs), respectively. We will see that all these pathwise solution ansatz are obtained from iterating Taylor expansions. Therefore, Rough Path Theory and Regularity Structures can be viewed as generalisations of B-series designed for solving ordinary differential equations (ODEs). I will present the derivation of B-series-type solution ansatz for ODEs, RDEs, and SPDEs. Rooted trees and Hopf algebras appear naturally in encoding the expansions of solution ansatz. No prior background knowledge in rough analysis is required. Familiarity with Taylor expansions will be sufficient.

• • 10:30 – 11:00 : Break

• • 11:00 – 11:45 : Talk
    Title
    

    Abstract

• • 11:45 – 12:30 : Juan Mardomingo-Sanz – IECL
    Slow-fast limits of stochastic particle systems arising in telomere biology
    

    The ends of linear chromosomes, called telomeres, shorten at each cell replication, eventually driving the cells to a senescent state when they become too short. The enzyme telomerase, present in cancerous cells and some unicellular organisms, elongates the telomeres and allows cells to continue replicating. Recent experiments show that if this enzyme is inactivated some rare survivors (ALT), which elongate their telomeres without telomerase, will appear and will eventually invade the cultures.
    I will present a simple stochastic particle system which accounts for the emergence and invasion of these ALT cells under an appropriate scaling with different speeds for each cell type.

• • 12:30 – 14:00 : Lunch

• • 14:00 – 14:45 : Talk
    Title
    

    Abstract

• • 15:00 – 17:30 : Scavenger Hunt in the city (Luxembourg)

• • 19:00 : Social Dinner at Brasserie du Cercle (Luxembourg City)

Friday 22/05 – MSA 3.500 :

• • 9:00 – 9:45 : Gautier Schanzenbacher – IECL
    An Introduction to Hyperbolic Geometry: Surfaces, Geodesics, and Entropy
    

    For centuries, mathematicians tried to prove Euclid’s fifth axiom (the parallel postulate) using only the first four. In the 19th century, Gauss showed that replacing this axiom leads to a new, consistent geometry: non-Euclidean geometry. In particular, if we suppose that there are infinitely many lines parallel to a given line passing through a single point, we obtain Hyperbolic Geometry.
    In this talk, I will start from these foundations to define hyperbolic surfaces. We will then explore the world of curves, geodesics, and homotopy classes to understand the concept of entropy of the geodesic flow of a hyperbolic surface in the simplest way possible.

• • 9:45 – 10:30 : Talk
    Title
    

    Abstract

• • 10:30 – 11:00 : Break

• • 11:00 – 11:45 : Musbahu Idris – IECL
    Algorithmic Aspects of Newman Polynomials and Their Divisors
    

    A Newman polynomial is a polynomial with coefficients in ${0,1}$ and constant term $1$. We investigate which integer-coefficient polynomials divide a Newman polynomial, focusing on those with small Mahler measure. Using mixed-integer linear programming, we determine the divisibility status of all $8,438$ known polynomials with Mahler measure less than $1.3$. We further exhibit new polynomials that divide no Newman polynomial, improving the best known upper bound on a conjectural universal constant $\sigma$ to approximately $1.419$.

• • 11:45 – 12:30 : Talk
    Title
    

    Abstract

• • 12:30 – 14:00 : Lunch

• « Ô mon beau pendule ! » :

Si grand nombre d’entre vous ont déjà vu le Professeur Tournesol s’amuser avec son pendule, le pendule cycloïdal de Huygens vous sera sans doute étranger.

Le premier est simplement le système matériel composé d’un fil accroché à une extrémité et d’une masse accrochée à son autre extrémité. Le tout oscille sous l’effet du poids. On s’interrogera sur la période des oscillations du pendule i.e. le temps que met la bille pour faire un aller-retour. Dépend-t-il de la masse ? De la longueur du fil ? De l’angle initial auquel on lâche la masse ? À l’aide de théorèmes de la mécanique newtonienne, nous mettrons en équation le mouvement du pendule simple et répondrons théoriquement à ces questions.
Dans le cas de l’approximation des petits angles, l’équation de l’oscillateur harmonique fournit l’isochronisme des oscillations i.e. la période ne dépend pas de l’angle initial auquel on lâche la masse. On s’interroge : Quelle est donc exactement le temps pris par la masse pour effectuer une période ?

On s’interroge ensuite : Mais quelle courbe du plan (si elle existe !) devrait suivre la masse pour que le temps de parcours mis pour effectuer une période ne dépende pas de l’endroit où on la lâche ? Cette question occupât l’esprit de ceux qui, désireux de partir à la découverte du Monde, cherchaient un moyen de se repérer avec précision en mer. Le pendule devait alors permettre de mesurer le temps, sans se dérègler sous la houle. Surprise : cette trajectoire n’est pourtant rien de plus que la trajectoire  que fait  la valve d’une roue de vélo lorsque le ce dernier roule sur du plat.

• « Le niveau de distribution de la fonction somme des chiffres le long des progressions arithmétiques » :

Pour $q\geq 2, n\in \mathbb{N}$, soit $s_{q}(n)$ la somme des chiffres de $n$ écrit en base $q$. L. Spiegelhofer (2020) a prouvé que la suite de Thue-Morse a un niveau de distribution de 11, améliorant un ancien résultat de Fouvry et Mauduit. Nous généralisons ce résultat aux suites de type $\left\{\exp\left(2\pi i \frac{\ell}{b}s_{q(n)}\right)\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ et fournissons un exposant explicite dans la borne supérieure.

• « Stonean spaces » :

In this talk we will give an introduction to stonean spaces. We will show that stonean spaces are exactly the projective objects in the category of compact Hausdorff spaces, and every compact Hausdorff space is a continuous image of a stonean space. As an application, we show that condensed sets (i.e. sheaves on the site of category of stone spaces) are equivalent to sheaves on the site of category of compact Hausdorff spaces, and to sheaves on the site of category of stonean spaces.

Cet exposé discute de quelques résultats originaux qui ne sont généralement pas enseignés dans un cursus classique du Supérieur en Mathématiques. Il s’agit en effet du lemme de Wielandt (1949), du théorème de Kleinecke-Shirokov (1957-1956) et du théorème de Fulglede-Putnam-Rosenblum (1950-1951-1958). Provenant historiquement de la théorie des algèbres d’opérateurs, il est en fait naturel de les traduire dans le langage des algèbres de Banach dont leur père, le mathématicien soviétique I. M. Gelfand, a démontré entre 1939 et 1941 la complémentarité singulière qui s’exprime entre algèbre et analyse.

C’est cette complémentarité qui est réaffirmée ici. Ces résultats gravitent tous autour de la notion de (non)-commutativité qui est le cœur de la mécanique quantique et de la théorie des opérateurs. Plusieurs démonstrations du théorème de Wielandt sont proposées dont l’une avec l’aide du théorème de Kleinecke-Shirokov. Les résultats ci-dessus sont mis en lumière par quelques réflexions dans l’algèbre $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ des matrices carrées et par des questions personnelles sur les propriétés d’un couple $(a,b)$ d’éléments dans certaines $\mathbb{C}$-algèbres contraint à satisfaire une relation du type $[a,b]=\alpha a, ~ \alpha \in \mathbb{C}^*$. L’exposé est enrichi de remarques historiques et contextuelles sur la théorie des algèbres de Banach et des opérateurs.

Barycentres conditionnels de Wasserstein pour modéliser l’effet des conditions expérimentales sur la dégradation de batteries

Les performances des batteries électriques se dégradent au cours du temps. C’est le cas par exemple de la quantité d’énergie stockée qui diminue au cours du temps. Un enjeu important pour les constructeurs de batteries est de modéliser la dégradation caractéristique d’un nouveau modèle de batterie afin d’évaluer sa valeur.

Dans une présentation précédente, lors de la journée des doctorants, nous avions présenté des méthodes à base processus gaussiens pour modéliser la dégradation des batteries sous une condition de référence. Cela fournis un premier outil mais est souvent insuffisant en pratique. En effet, la dégradation des batteries dépend fortement de ses conditions d’utilisation, la température ambiante, le courant de charge ou de décharge… Nous avons donc besoin d’une méthode capable de prédire la dégradation en fonction des conditions expérimentales, et ce même pour des conditions jamais observées.

Face aux difficultés rencontrées à modéliser l’effet des conditions avec les méthodes utilisées précédemment, nous proposons une autre approche reposant sur la théorie du transport optimal. Dans cette présentation nous prendrons le temps d’introduire les éléments essentiels du transport optimal (problème de Monge, Kantorovitch …). Puis nous introduirons l’idée plus récente du barycentre conditionnel de Wassertein comme de méthode de régression lorsque les sorties sont des distributions de probabilités. La régression Fréchet, un type particulier de barycentre conditionnel, sera utilisée pour modéliser l’effet de la température sur le vieillissement des batteries.

Absorption d’un mouvement brownien réfléchi

Après avoir défini le mouvement brownien, j’essayerai de motiver l’étude d’une de ses très nombreuses généralisations : le mouvement brownien réfléchi (RBM) dans un cône. Nous verrons que ce processus est assez bien décrit par un petit jeu de paramètres. Nous discuterons en particulier de méthodes utiles au calcul de la probabilité qu’un RBM soit absorbé au sommet du cône. Cet exposé est issu d’un travail en collaboration avec Sandro Franceschi.

How cancer evolution can be modelled ? An example of a toy model giving insights on such evolutionary process.

Lors d’une palpitante partie de Qui-Est-Ce et des enjeux qu’une glorieuse victoire peut y représenter, il paraît fondamental d’y établir des stratégies solides : Quelles sont les questions qui optimisent nos chances de gagner ? Nous aborderons cette question sous le prisme de la théorie de l’information. Plus précisément, nous aborderons la notion d’entropie et en exhiberons quelques propriétés fondamentales pour mieux la cerner. Nous en profiterons pour introduire l’entropie relative, aussi appelée divergence de Kullback-Leibler, et présenter quelques résultats qui la font intervenir, notamment dans la théorie des grandes déviations avec le théorème de Sanov.

Journée conviviale et mathématique pour la rentrée des doctorants de l’IECL.

Programme : 

Matin :

• 9h : Accueil café
• 9h30 : Fatma Aouissaoui : Détection de ruptures faibles dans les modèles CHARN ;
• 10h10 : Hichem Zouari : Entiers friables sous contraintes digitales ;
• 10h50 : Pause ;
• 11h20 : Zeinab Mohamad Ali : Well-posedness and stabilization of coupled hyperbolic equations involving Timoshenko and Rao-Nakra systems by various types of controls ;
• 12h20 : Pause repas.

Après-midi :

• 14h : Yann Millot : De la ligne de fuite aux jeux de société ;
• 15h : Benjamin Florentin : Un analogue de l’hypothèse de Riemann en géométrie spectrale ;
• 15h40 : Pause ;
• 16h : Benjamin Larvaron :  Modélisation de la dégradation de batteries Lithium-ion avec incertitudes à l’aide de processus Gaussiens ;
• 16h40 : Serena Pedon : L’équation fonctionnelle de la fonction Zêta de Riemann ;
• 17h20 : Fin.

Comment stocker des données désordonnées ?

Imaginez être gérant.e d’un grand parking, réservé aux voitures abonnées. Une barrière y bloque l’entrée et ne s’ouvre que pour les voitures inscrites. Régulièrement des gens viennent vous voir pour y inscrire leur plaque d’immatriculation, que vous devez noter quelque part. Vous pourriez simplement les écrire les unes à la suite des autres sur une grande feuille, mais ce ne serait pas très malin pour les retrouver après. En effet quand une voiture s’approche de la barrière du parking, il faut vite savoir si sa plaque d’immatriculation est inscrite ou non.
On aimerait donc une manière intelligente de ranger ces numéros de plaques, de sorte à répondre efficacement à ces requêtes. Plus formellement, on cherche une structure informatique dans laquelle insérer des nouvelles données puis les retrouver se fait en temps raisonnable. Ces considérations mènent à la notion d’Arbre Binaire de Recherche (BST). Mon but dans cet exposé sera d’introduire cette structure et de présenter des résultats, classiques et nouveaux, concernant son efficacité.