Differential geometry seminar

A geometric energy landscape is usually investigated locally through its critical points and their Morse indices. Understanding its global structure is challenging and requires both analytic and topological approaches. We present a special case where such global analysis is feasible: the Willmore energy of immersed 2-spheres in $\mathbb{R}^3$ . We show that the subset of immersions with energy at most $12\pi$ consists of four path components. As a consequence, we obtain insight into the singular behavior of the Willmore flow and a relation between self-intersections and the Willmore energy beyond the Li-Yau inequality. To prove these results, we glue together different instances of the Willmore flow and devise an invariant for triple-point-free immersed spheres.

arXiv: https://arxiv.org/abs/2506.23359 and https://arxiv.org/abs/2506.21130

The Willmore energy is a classical (almost) conformal invariant measuring the complexity of an immersion.  Its critical points are called Willmore surfaces and can be understood as elasticas generalizing minimal surfaces in any of the three conformal models. In this talk, we will angle our study through the tool of the Conformal Gauss Map. This application into a de Sitter space offers a natural link between harmonic surfaces in a Lorentz context and Willmore surfaces, and allows one to turn many non linear aspects of Willmore studies, into Lorentzian linear ones, with one key issues: it breaks down at umbilic points. An approach of these singularities through a Gauss-Bonnet formula will allow us to recover links between the Willmore energy and the Conformal/Renormalized volumes.

Bach-flat metrics are a natural generalization of Einstein and self-dual metrics in dimension four and arise as critical points of the Weyl energy.
Such energy is conformally invariant and it is naturally defined for Riemannian metrics of Sobolev class W 2,q with q > 2. In this talk, we will show that Bach- flat metrics of such Sobolev class are indeed smooth up to global conformal diffemorphisms. Furthermore, we will establish regularity properties of metrics whose Bach tensor is controlled in suitable Sobolev spaces, and analogue results in higher dimensions. This is based on joint work with Rodrigo Avalos and Albachiara Cogo.

Sur une variété riemannienne de dimension trois ou plus, nous introduisons
deux opérateurs différentiels agissant sur les (champs de) 2-tenseurs symétriques
sans trace. Le premier, un opérateur du second ordre, est un opérateur conformément
covariant, similaire au laplacien de Yamabe sur les fonctions. Il peut être utilisé pour
tester la stabilité de certaines métriques d’Einstein. Le second, un opérateur du
quatrième ordre, agit comme un générateur de tenseurs TT (2-tenseurs symétriques
sans trace et sans divergence) sur les variétés d’Einstein, car il permet de transformer
n’importe quel 2-tenseur symétrique sans trace en un tenseur TT, de nombreux tenseurs
de ce type étant ainsi obtenus. Cet opérateur peut également être utilisé pour approximer
un tenseur TT moins régulier par un tenseur TT lisse. Sur une variété Ricci-plate, la
restriction de ces deux opérateurs aux tenseurs TT correspond au laplacien de Lichnerowicz et à son carré.

La longueur stable des commutateurs (scl) est une mesure de la complexité homologique des éléments d’un groupe. Elle a de nombreux liens avec diverses notions en théorie des groupes et en topologie géométrique, par exemple les quasimorphismes, la cohomologie bornée et les actions sur le cercle. La première partie de cet exposé sera une introduction générale à scl et à certains de ces liens.

Dans la seconde partie, on se focalisera sur les trous spectraux et leur relation avec les notions de courbure négative en théorie des groupes. On présentera une méthode géométrique pour obtenir des résultats de trous spectraux, menant à une nouvelle preuve d’un théorème de Heuer sur le trou spectral des groupes d’Artin rectangulaires (RAAG). Nous expliquerons l’idée de cette méthode et, si le temps le permet, montrerons son fonctionnement dans le cas particulier des groupes libres.

Geometric methods in computational complexity

In this talk we will discuss the connection between combinatorial properties of minimally self-intersecting curves on a surface S and the geometric behaviour of geodesics on S when S is endowed with a Riemannian metric. In particular, we will explain the interplay between a smoothing, which is a type of surgery on a curve that resolves a self-intersection, and k-systoles, which are shortest geodesics having at least k self-intersections, and we will present some results that partially elucidate this interplay. There will be lots of pictures. Based on joint work with Max Neumann-Coto.

Transformée à rayons géodésiques et problèmes inverses magnétiques

En 2022, Delecroix-Goujard-Zograf-Zorich ont produit des estimées, pour les surfaces de grand genre, des fréquences relatives de multi-courbes simples. En particulier, leurs travaux montrent que la fréquence relative des courbes séparantes et non-séparantes tend vers 0 quand le genre grandit : en grand genre les courbes simples sont génériquement non-séparantes. Dans cet exposé on s’intéressera à des questions similaires pour des courbes avec auto-intersections. Comment exprimer leur fréquence ? Comment celle-ci se comporte-t-elle en grand genre ? Que dire des fréquences relatives de deux courbes données ? A quoi ressemble une courbe générique avec auto-intersections ? Ceci est un travail en collaboration avec M.Liu, K. Rafi, et J.Souto.