Differential geometry seminar

Dans cet exposé, on établira des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une 2-variété riemannienne soit isométriquement immergée comme surface à  courbure moyenne constante dans certaines variétés produits. De plus, dans le cas o๠la 2-variéte riemannienne a une courbure intrinsèque constante, on classifiera ces immersions isométriques. Il s’agit d’un travail en cours en collaboration avec Benoît Daniel (UL) et Feliciano Vità³rio (UFAL).

In this talk, we will show some results about quasi-Einstein manifolds. Quasi-Einstein manifolds can be characterized as bases of Einstein warped products. On the first part, we investigated the infinity structure of a complete non-compact quasi-Einstein manifolds. In particular, we show that if M is a base of a Ricci-flat warped product then M is connected at infinity. When M is the basis of an Einstein warped product with Einstein constant λ < 0, there are examples with more than one end. In this case, we show that M is non-parabolic and, on a given hypothesis about scalar curvature, M has only one end f-non-parabolic. In addition, we obtain two estimates for the volume of the geodesic balls of M. On the second part, we will show that Bach-flat non-compact quasi-Einstein manifolds with λ = 0 and positive Ricci curvature are isometric to a rotationally symmetric metric whose fiber is a Einstein manifold.

This is joint work with R. Batista and E. Ribeiro Jr.

Si l’on fait une variation $C^1$ d’une métrique à  courbure négative sur une variété compacte, alors l’entropie du flot géodésique (invariant dynamique naturel) varie de manière $C^1$. Ce résultat est dà» à  Katok-Knieper-Weiss. Dans un travail en commun avec Samuel Tapie, nous montrons que ce résultat est valide pour une large classe de variétés non compactes à  courbure négative. J’introduirai les notions intervenant dans ce résumé, et quelques idées des preuves.

On introduit une distance sur l’ensemble des corps convexes de l’espace euclidien de dimension n, à  translations et homothéties près. Cet ensemble se plonge isométriquement comme un convexe de l’espace hyperbolique de dimension infinie. La structure lorentzienne ambiante est donnée par une extension de l’aire intrinsèque des corps convexes. On en déduit que l’ensemble des formes des corps convexes (c’est-à -dire les corps convexes à  similitudes près) est muni d’une distance propre de courbure plus grande que -1. Pour les convexes en dimension 3, cet espace est homéomorphe à  l’espace des métriques sur la sphère de courbure positive.

Par analogie avec les fonctions de type positif et les fonctions conditionnellement de type négatif, classiques en théorie des représentations des groupes, nous étudions les fonctions de type hyperbolique. Nous donnons des exemples de telles fonctions et quelques applications. Il s’agit d’un travail en commun avec Nicolas Monod ( https://arxiv.org/abs/1805.12479 ).

We prove that the stability index of a compact constant mean curvature (CMC) surface in the Euclidean space or in the unit sphere is bounded from below by a linear function of its genus. We also will discuss some results in the case of free-boundary CMC surfaces in a mean convex body of R^3. These results are part of joint works with Darlan de Oliveira.

Par la formule de la signature de Hirzebruch et d’Atiyah, Patodi et Singer, l’invariant êta du bord totalement géodésique $M$ d’une variété orientée plate $X$ de dimension $4k$ doit être un nombre entier. Nous démontrons un résultat similaire dans un contexte plus général: si $X$ est une variété Riemannienne compacte, localement conformément plate et à  bord $M$, alors l’invariant êta de $M$ doit être un entier, sans aucune condition sur le plongement de $M$ dans $X$. Ce résultat fournit des obstructions à  l’existence d’une métrique localement conformément plate sur $X$ prescrite le long de $M$.

In this talk we will show some topological and geometrical results for free boundary submanifolds under some hypothesis on the length of traceless second fundamental form. If time permits, we will deal with the problem of prescribe the curvature on Riemannian manifolds with boundary.

La courbure de Gauss d’un corps convexe peut être vue comme une mesure (avec certaines propriétés) sur la sphère unité, étendant ainsi la notion de courbure de Gauss des convexes réguliers. Le problème d’Alexandrov consiste, à  partir d’une telle mesure, à  reconstruire le convexe. Pour les convexes de l’espace euclidien, une façon de résoudre ce problème est de se ramener à  un problème de transport optimal sur la sphère.
Pour les convexes de l’espace hyperbolique, ce problème de prescription de la courbure de Gauss est tout aussi naturel. Je montrerai comment définir la courbure de Gauss par une propriété de transport de mesures et comment cette approche permet de résoudre le problème d’Alexandrov en se ramenant à  un problème d’optimisation non linéaire. Si le temps le permet, j’expliquerai comment résoudre ce problème d’optimisation.
Travail en commun avec Jérôme Bertrand.

We discuss a spectral problem characterising the stability of apparent horizons in General
Relativity. Apparent horizons are closed (compact, without boundary) Riemannian surfaces
modelling sections of horizons in black hole spacetimes, namely Lorentzian manifolds satisfying
Einstein equations and containing light-trapped regions. After presenting the geometric elements
relevant for this kind of surfaces, we will formulate the (geometric) spectral problem associated
with the so-called stability operator of Marginally Outer Trapped Surfaces (MOTS), an elliptic
operator defined on these apparent horizons. Interestingly, such spectral problem is equivalent
to the one associated with a magnetic Laplacian with imaginary magnetic field, the magnetic field
term corresponding to the black hole rotation (a potential given by the apparent horizon curvature
is also present). This connection offers a potentially rich bridge between the original geometric
problem in relativity and the spectral analysis study of complexified-magnetic Laplacians.