Differential geometry seminar

Etant donnée une surface compacte avec un bord non vide, nous traiterons de la question suivante : existe-t-il une métrique riemannienne régulière qui maximise la k-ème valeur propre de Steklov sur cette surface ? Nous donnerons également le lien entre ce problème et celui de l’existence de surfaces minimales à  bord libre dans une boule.

Dans cet exposé je présenterai une démarche poursuivie récemment par Gigli et Mantegazza pour décrire le flot de Ricci uniquement à  partir de l’aspect “espace métrique” des variétés Riemanniennes mises en jeu. L’objectif en est d’obtenir une reformulation permettant au flot de Ricci de s’appliquer à  des espaces métriques. Les outils en sont la diffusion de la chaleur et le transport optimal. Je présenterai le résultat d’investigations menées en commun avec Matthias Erbar (Univ. Bonn) concernant quelques espaces métriques emblématiques.

Le problème central de l’exposé sera d’étudier une propriété d’hyperbolicité dans une classe particulière de groupes grâce à  une action sur un complexe cubique CAT(0). Plus précisément, nous nous intéresserons à  la question suivante : quand un groupe de diagrammes est-il acylindriquement hyperbolique ? La majeure partie de l’exposé consistera à  introduire les différentes définitions et motivations relatives à  ce problème. Le temps restant sera consacré à  l’énoncé des résultats principaux et aux techniques permettant de les démontrer.

Nous présenterons d’abord un résultat de pincement général pour la première valeur propre d’opérateurs d’ordre 2 pour les hypersurfaces de l’espace euclidien. Nous déduirons ensuite quelques applications géométriques, notamment concernant les hypersurfaces presque ombiliques ainsi que la stabilité des hypersurfaces CMC ou à  courbures moyennes d’ordres supérieurs constantes. Il s’agit de résultats en collaboration avec Julian Scheuer.

Day a montré, au début des années soixante, que la moyennabilité d’un groupe (une propriété au coeur du paradoxe de Banach–Tarski) pouvait se caractériser via ses actions affines sur un espace localement convexe. Nous montrons qu’une telle caractérisation est en fait déjà  possible dans le monde hilbertien. Ce résultat nous servira de prétexte pour étudier des techniques permettant de transférer des résultats du groupe libre vers un groupe non moyennable général (même quand ce dernier ne contient aucun sous-groupe libre). Travail en collaboration avec Nicolas Monod.

Nous présenterons dans cet exposé un certain nombre de résultats appartenant au domaine de la topologie quantitative, dont un exemple classique est la géométrie systolique, branche de la géométrie métrique étudiant des inégalités de type isopérimétrique sur les variétés riemanniennes fermées. Des résultats récents montrent en particulier que ces inégalités sont reliées à  la géométrie symplectique, la géométrie convexe ainsi que la théorie des nombres, et permettent d’éclairer leur caractère fondamental déjà  souligné par R. Thom.

Une des façons de comprendre une action de groupe consiste à  étudier les actions induites sur les n-uplets de points distincts. Ceci permet de produire d’autres actions du même groupe aux propriétés (récurrence, minimalité, ergodicité…) différentes. Par exemple, étant donné un groupe qui agit sur le cercle par difféomorphismes, on peut se demander si l’action sur les paires de points préserve une forme d’aire. Nous verrons que cette situation intervient naturellement dans l’étude des groupes d’isométries de certaines surfaces lorentziennes. Après avoir vu que dans ce cas il existe toujours un homéomorphisme du cercle qui conjugue l’action à  l’action projective d’un sous-groupe de PSL(2,R), nous étudierons la possibilité d’avoir une conjugaison par difféomorphisme.

L’exposé est une variation autour d’un théorème de M. Gromov, affirmant qu’une structure géométrique rigide dont le groupe des automorphismes admet une orbite dense, doit être localement homogène sur un ouvert dense. Nous discuterons comment ces conclusions peuvent être renforcées dans le cadre des variétés lorentziennes de dimension 3.

Une forme de Clifford–Klein compacte d’un espace homogène $G/H$ est un quotient de cet espace par un sous-groupe discret $Gamma$ de $G$ agissant proprement discontinà»ment et cocompactement sur $G/H$. Lorsque $G$ et $H$ sont semi-simples, l’action de $G$ sur $G/H$ préserve une métrique pseudo-riemannienne, et en particulier une forme volume. J’expliquerai pourquoi le volume d’une forme de Clifford–Klein compacte $Gamma backslash G/H$ peut se calculer en intégrant sur la classe fondamentale de $Gamma$ une forme $G$-invariante $omega_H$ sur l’espace symétrique riemannien $G/K$. Dans plusieurs cas, cela permet de montrer que ce volume est rigide. De plus, ce résultat fournit une nouvelle obstruction à  l’existence de quotients compacts de certains espaces homogènes.

It is known that conformally flat hypersurfaces in four dimensional space forms are associated with solutions of a system of equations, known as Lam ́e’s system. In this talk, conformally flat hypersurfaces associated with invariant solutions under the symmetry group of the Lam ́e’s system are considered. Namely, three classes of solutions are presented: a) solutions given by Jacobi elliptic functions, that correspond to a new class of conformally flat hypersurfaces; b) solutions given by hyperbolic functions, that correspond to conformally flat hypersurfaces generated by helicoidal flat surfaces in the hyperbolic three space; c) solutions given by trigonometric functions, that correspond to conformally flat hypersurfaces generated by helicoidal flat surfaces in the standard three sphere. For such helicoidal flat surfaces, a classification is given in terms of their first and second fundamental forms for special parametrizations.