Titre : Arithmétique des schémas en groupes de Bruhat-Tits sur les anneaux de Dedekind semi-locaux.

Résumé :

Soit un DVR R et groupe réductif G sur K = Frac(R). On dit que P est un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur R si, pour tout idéal maximal m de R, P est de Bruhat-Tits (au sens usuel) sur la complétion de R par m.
Dans notre situation, un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur un DVR complet peut être un schéma en groupes parahorique, stabilisateur d'un point, ou même le modèle de Néron lft d'un tore, ou des schémas en groupes encore plus exotiques.

La question clé de l'exposé est de comprendre quand l'application H^1(R,P) --> H^1(K,G) est injective. 
Cette question a été initialement posée par Bayer et First pour leurs études sur les groupes classiques et les ordres héréditaires. 
La célèbre conjecture de Grothendieck-Serre sur R (démontrée par Nisnevich et Guo) est le cas particulier où P est réductif sur R.

Nous posons d'abord les bases de l'étude de la question, puis démontrons que l'application est toujours injective lorsque G est semi-simple simplement connexe (pour tout P). 
Nous donnons également quelques contre-exemples lorsque l'injectivité n'est pas réalisée.
Nous donnons également une preuve simplifiée de la conjecture de Grothendieck-Serre sur R, preuve qui s'inscrit donc davantage dans une approche immobilière.

titres et résumés à venir

Geometric methods in computational complexity

Smooth complex Fano varieties form a central class of projective varieties in algebraic geometry, whose classification is currently complete only in dimensions up to three. The Lefschetz defect is an invariant that has proved to offer an effective perspective in the study of smooth complex Fano varieties in arbitrary dimension. Recent breakthroughs show that when the Lefschetz defect is greater than two, one obtains strong restrictions on the geometry of the variety. In this talk, I focus on smooth Fano varieties with Lefschetz defect equal to two that arise from a specific construction introduced by C. Casagrande and S. Druel, together with some natural variants. We show that most Fano threefolds with defect two can be described via this construction. Moreover, in dimension four we complete the classification of all Fano varieties with defect two obtained in this way, resulting in a total of 173 distinct families.

Transformée à rayons géodésiques et problèmes inverses magnétiques

Titre : Arithmétique des schémas en groupes de Bruhat-Tits sur les anneaux de Dedekind semi-locaux.

Résumé :Soit un DVR R et groupe réductif G sur K = Frac(R). On dit que P est un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur R si,
 pour tout idéal maximal m de R, P est de Bruhat-Tits (au sens usuel) sur la complétion de R par m. Dans notre situation,
 un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur un DVR complet peut être un schéma en groupes parahorique, stabilisateur d'un point,
 ou même le modèle de Néron lft d'un tore, ou des schémas en groupes encore plus exotiques. La question clé de l'exposé est
 de comprendre quand l'application H^1(R,P) --> H^1(K,G) est injective. Cette question a été initialement posée par Bayer et
 First pour leurs études sur les groupes classiques et les ordres héréditaires. La célèbre conjecture de Grothendieck-Serre
 sur R (démontrée par Nisnevich et Guo) est le cas particulier où P est réductif sur R. Nous posons d'abord les bases de
 l'étude de la question, puis démontrons que l'application est toujours injective lorsque G est semi-simple simplement 
connexe (pour tout P). Nous donnons également quelques contre-exemples lorsque l'injectivité n'est pas réalisée. Nous 
donnons également une preuve simplifiée de la conjecture de Grothendieck-Serre sur R, preuve qui s'inscrit donc davantage 
dans une approche immobilière.

Titre : Algèbres quantiques affines et schémas de bandes.

Résumé : L’objectif de cet exposé est d’introduire une nouvelle famille d’objets géométriques, appelés schémas de bandes, et d’explorer leurs liens avec la théorie des représentations des algèbres quantiques affines et de leurs versions décalées. On verra que les schémas de bandes permettent de donner une construction géométrique des anneaux de Grothendieck de certaines catégories de représentations des algèbres quantiques affines, ainsi que de démontrer une conjecture de Frenkel et Reshetikhin (1998) donnant une interprétation géométrique du morphisme des q-caractères. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Bernard Leclerc.

La conjecture standard de type Hodge prédit la positivité de certaines formes d’intersections sur les cycles algébriques. Cette conjecture est connue en caractéristique 0 via les relations de Hodge-Riemann bilinéaires. Dans cet exposé, on s’intéressera à des nouveaux cas de la conjecture en caractéristique positive, en particulier au cas des puissances de variétés abéliennes de dimension 3.

It is known since Wierzba–Wisniewski’s work in 2003 that a birational map between holomorphic symplectic fourfolds is a composition of Mukai flops. Hu and Yau conjectured that in any dimension, a birational map is a composition of Mukai elementary transformations in codimension two, that is, maps which locally look like a product of a 4-dimensional Mukai flop and the identity on a polydisc, « up to codimension three or higher ». Call  a birational map f from X to X’ a « Hu-Yau transformation » , if there are proper closed subsets Z, Z’ of codimension three or higher such that f induces a Mukai transformation in codimension two between X\Z and X’\Z’. We show that any birational map between irreducible holomorphic symplectic manifolds is a product of Hu-Yau transformations, and give an example showing that a stronger version of the conjecture cannot be true: it is in general not possible to decompose a given map into a product of Mukai elementary transformation after discarding some codimension three closed subsets from the source and the target.

Titre : Groupes de Kac–Moody–Steinberg et quotients simples finis

Résumé : Dans cet exposé, je parlerai d'un groupe obtenu comme l'amalgame d'un triangle de petits groupes matriciels, 
et présenterai notamment un résultat sur ses quotients simples finis. Je motiverai l'étude de ce groupe et de ses quotients 
dans le contexte d'une question de Gromov, qui demande si tous les groupes hyperboliques sont résiduellement finis.
 Ensuite, j'illustrerai les outils, liés à la théorie des groupes de Kac–Moody, qui sont utilisés pour la construction de 
ces quotients.

Présentation et unicité de groupes de Kac-Moody sur les anneaux locaux

A chaque matrice de Cartan généralisée (GCM) $A$ et chaque anneau $R$, Jacques Tits a associé un groupe de Kac-Moody $G_A(R)$ défini par une présentation à la Steinberg généralisant celle des groupes de Chevalley. Dans ce travail en collaboration avec Bernhard Mühlherr, nous avons exploré la question suivante : pour un domaine $R$ de corps de fractions $K$, l’application canonique $\phi_R : G_A(R)\to G_A(K)$ est-elle injective ? Cette question a une longue histoire dans le cas classique où $A$ est une matrice de Cartan ; notre résultat principal est que l’application $\phi_R$ est injective dès que $A$ est une GCM $2$-sphérique et $R$ est un anneau de valuation.

Dans la première partie de l’exposé, j’énoncerai précisément ce théorème, et en présenterai le contexte et introduirai les notions nécessaires à sa compréhension. Dans la deuxième partie de l’exposé, j’expliquerai l’idée de base de la preuve et la raison des hypothèses faites sur $A$ et $R$. L’objectif est que les deux parties soient accessibles pour un public non-spécialiste.

Les espaces de rêve de Mori forment une classe de variétés algébriques qui jouent un rôle important en géométrie birationnelle, car elles présentent un comportement idéal dans le cadre du programme des modèles minimaux. Dans la première partie de cet exposé, nous discutons de la géométrie birationnelle de certaines hypersurfaces, et lorsque ces
hypersurfaces sont des Mori dream spaces, nous déterminons complètement leur géométrie birationnelle. Dans la seconde partie, nous examinons le comportement de la propriété « être un espace de rêve de Mori » dans des familles de variétés symplectiques holomorphes irréductibles.

Le but de cet exposé est d’étudier les propriétés d’hyperbolicité des bases de familles de variétés hyperkählériennes à variation maximale. Lorsque la famille est kählérienne, le théorème de Torelli local, combiné aux travaux de Griffiths sur les variations de structures de Hodge, implique que la base est hyperbolique au sens de Kobayashi. En revanche, lorsque la famille n’est pas kählérienne, la base peut ne pas être hyperbolique, comme le montrent les exemples fournis par les familles de twisteur. On s’intéressera au cas des familles non nécessairement kählériennes, mais dont le fibré de Hodge possède des propriétés de positivité analogues à celles du cas kählérien. Pour aborder cette question, nous introduirons une variante de la pseudo-distance de Kobayashi sur l’espace de modules des variétés hyperkählériennes marquées, adaptée à ce contexte, dont nous montrerons l’annulation.

Mori dream spaces are a special kind of varieties introduced by Hu and Keel in 2000 that enjoy very good properties with respect to the minimal model program. In this talk we explore when blowups of P^3 along smooth curves are Mori dream spaces, generalizing an early example of A. Küronya.  This is joint work with Sokratis Zikas.

In this talk, I will present recent joint work with S.~Matsumura, J.~Wang, and X.~Wu on the structure of compact Kähler manifolds whose anti-canonical bundle is nef. We establish a general structure theorem in the Kähler setting, showing that X admits a locally trivial fibration whose fibers are rationally connected and whose base has vanishing first Chern class. Our approach extends the method of Cao–Höring from the projective to the Kähler case, requiring new tools such as a flatness criterion for pseudo-effective sheaves and a refined analysis of direct image sheaves equipped with singular Hermitian metrics. I will also discuss the application, about the generalization of the Beauville–Bogomolov decomposition.

IPVTs and applications

I will discuss limits in low intensity of Poisson-Voronoi tessellations, which we called ideal Poisson-Voronoi tessellations (IPVTs).

In the colloquium part, I will focus on the IPVT of real hyperbolic space of dimension d, where a simple Poissonian description of the cell containing the origin enables an in-depth study of the geometric features of its tiles.

In the research seminar part, I will discuss sufficient conditions for convergence toward IPVTs in a general metric space, and illustrate them for the Cartesian product of two hyperbolic planes endowed with the $L^1$ metric. Then I will discuss an application to proving the smallness of the uniqueness threshold of Poisson/Bernoulli–Voronoi percolation on spaces with a non-amenable product structure.

Based on joint works with Nicolas Curien, Nathanaël Enriquez, Russell Lyons, Meltem Ünel (2303.16831, to appear on The Annals of Probability), on 2412.00822, and on incoming works with Ali Khezeli and with Jan Grebik, Ali Khezeli, Konstantin Recke, and Amanda Wilkens.

EPW cubes are six-dimensional projective hyper-Kähler varieties constructed by Iliev, Kapustka, Kapustka, and Ranestad. Their construction and properties share many similarities with the double EPW sextics introduced by O’Grady. Both double EPW sextics and EPW cubes belong to the few known families of hyper-Kähler varieties for which one can give a geometric description of a general element in the moduli space. Moreover, both admit an anti-symplectic involution whose fixed locus is a Lagrangian submanifold.

In this talk we will review the theory of hyper-Kähler varieties and the role of Lagrangian subvarieties. We will then talk about EPW cubes, and present some recent results on the fixed locus of the anti-symplectic involution.

At the beginning of the 20th century, it was known that any compact connected, simply connected Riemann surface is biholomorphic to the projective line.
Subsequently, several characterizations of projective spaces were established. For instance, Siu and Yau stated that projective spaces are the only Kähler manifolds with positive holomorphic bisectional curvature, and Mori proved that they are the only projective manifolds that have an ample tangent bundle. In a different direction, projective spaces are the only Kähler–Einstein manifolds with a positive constant satisfying the equality in the Miyaoka–Yau inequality. This result originating from uniformization theory was generalized in the singular setting by Greb, Kebekus, Peternell and Druel, Guenancia, Păun. More precisely, they characterize singular quotients of $\mathbb{P}^n$ by finite groups acting freely in codimension 1. The aim of this talk is to discuss a generalization of Greb–Kebekus–Peternell’s result in order to characterize quotients of $\mathbb{P}^n$ by any group action.