Tout d’abord, on rappel que l’existence d’un diviseur de
nombre de Picard 1 dans une variété de Fano lisse a des conséquences
sur la géométrie de la variété ambiante. Par exemple, le nombre de
Picard d’une telle variété de Fano est au plus 3. Ensuite, on présente
des résultats similaires concernant le cas des variétés (pas trop)
singulières, avec un regard particulier sur le cas de la dimension 3
et des variétés toriques en toute dimension.

Les paramétrages des sous-objets linéaires de l’espace projectif sont bien compris : un espace linéaire est représenté par les déterminants maximaux d’un système d’équations, et ces déterminants satisfont des équations de degré deux, dites de Plà¼cker. On se propose d’étendre une telle représentation à  tous les sous-schémas algébriques de l’espace projectif et de définir des équations à  la Plà¼cker pour le schéma de Hilbert. La méthode repose sur une nouvelle présentation du schéma de Hilbert comme quotient d’une variété de représentation de carquois.

B. Pasquier a décrit toutes les variétés horosphériques de Fano de nombre de Picard 1. Nous décrirons la géométrie de ces variétés et en particulier les propriétés de leurs courbes rationnelles, leur cohomologie et leur cohomologie quantique (travail en commun avec R. Gonzales, C. Pech et A. Samokhine) .

Nous ferons des rappels sur le thème de la compactification des immeubles des groupes semi-simples sur les corps locaux. Dans le cas d’un groupe déployé, on peut identifier de façon équivariante la compactification de Satake-Berkovich maximale de l’immeuble euclidien correspondant, avec la compactification obtenue en plongeant l’immeuble dans l’espace de Berkovich associé à  la compactification maximale du groupe. La relation entre les structures à  l’infini, l’une provenant des strates de la compactification magnifique et l’autre des immeubles de Bruhat-Tits des facteurs de Lévi, peut être décrite. C’est un travail en commun avec A. Thuillier et A. Werner.

En faisant un petit calcul concret, on essaiera de convaincre l’audience que l’idée de considérer les orbifolds comme des champs n’est pas une lubie, mais apporte des outils pertinents, d’après arXiv:1611.09178.

Soit $E$ un fibré plat de rang $r$ au-dessus d’une variété kählérienne compacte. On peut définir le spectre de Lyapunov de $E$ : c’est un ensemble de $r$ exposants réels contrôlant la croissance des sections plates de E, le long de trajectoires browniennes.
J’expliquerai comment calculer ces exposants, en utilisant la notion de mesure harmonique sur un espace feuilleté. Je montrerai ensuite une inégalité reliant ces nombres aux degrés des sous-fibrés holomorphes de $E$, puis je discuterai du cas d’égalité.

Soit $X$ une variété kählérienne compacte à  fibré anticanonique nef. D’après Q. Zhang et M. Paun, on sait que l’application d’Albanese est surjective. On étudie ici la régularité de l’application d’Albanese et on montre que cette application est lisse si X est projective.

Les conditions de stabilité à  la Bridgeland ont joué ces dernières années un rôle central dans l’étude des espaces de modules. Une des propriétés fondamentales des telles conditions est la possibilité de les déformer, ce qui donne lieu à  une variété complexe avec une structure de chambres et murs correspondant à  différents modèles birationnels d’un espace de module de fibrés $mu$-semistables. Néanmoins, il est très difficile de montrer l’existence de telles conditions en dimension au moins trois. Dans cet exposé, je présenterai les idée fondamentales dans les cas plus simples (surfaces) et je montrerai comment utiliser un argument de C.Li pour construire des conditions de stabilité sur une variété de Fano de dimension 3. Il s’agit d’un résultat obtenu en collaboration avec E. Macri’, B. Schmidt et X. Zhao.

Le lieu de dégénérescence généralisé d’une section $s$ d’un fibré vectoriel $E$ sur une variété est le lieu des points $x$ o๠$s$ dégénère, c’est-à -dire $s(x)$ appartient à  une sous-variété fixée de l’espace total de $E$ ; cette notion généralise, par exemple, les lieux de dégénérescence habituels d’un morphisme entre deux fibrés vectoriels. Dans cet exposé, je vais présenter des techniques géométriques pour l’étude de ces lieux de dégénérescence ; avec ces techniques, on peut produire de nombreux exemples de variétés à  canonique trivial, notamment de Calabi-Yau, en généralisant de cette façon certaines constructions connues (variétés déterminantales, lieux des zéros). Il s’agit d’un travail en commun avec Vladimiro Benedetti, Sara Angela Filippini et Laurent Manivel.

C’est un travail commun avec Damian Brotbek. Nous prouvons que toute variété projective lisse M contient des sous-variétés avec cotangent ample en toute dimension $nleq dim(M)/2$. Nous construisons de telles variétés comme certaines intersections complètes.

Soient $S$ une surface et $V$ le $mathbb{Q}$-espace vectoriel des diviseurs modulo équivalence numérique. Le produit d’intersection définit un accouplement parfait sur $V$. On sait depuis les années Trente qu’il est de signature $(1,n)$. Dans les années Soixante Grothendieck a conjecturé une généralisation de cet énoncé aux cycles de codimension quelconque sur des variétés générales. En caractéristique zéro cette conjecture est une conséquence des relations de Hodge Riemann. En caractéristique positive assez peu est connu. Nous expliquerons comment démontrer cette conjecture pour les variétés abéliennes de dimension quatre.

Une forme réelle d’une variété algébrique complexe $X$ est une variété réelle dont la complexification est isomorphe à  $X$. Dans cet exposé, nous nous intéresserons au problème de la finitude des classes d’isomorphisme des formes réelles des surfaces rationnelles (posé par Kharlamov pour les surfaces projectives lisses en général). Nous montrerons d’abord que toute surface rationnelle dont le groupe d’automorphismes ne contient pas un groupe libre a un nombre fini de formes réelles. Nous verrons ensuite que certaines surfaces rationnelles à  « grands » groupes d’automorphismes ont également un nombre fini de formes réelles, comme les paires KLT Calabi-Yau ou les surfaces Cremona-spéciales.

Etant donné une surface K3 projective $S$, d’après le travail de Beauville et Voisin (2004), il existe une classe canonique $c_S$ dans le groupe de Chow des zéro-cycles $mathrm{CH}_0(S)$, qui vérifie la propriété que l’intersection des deux diviseurs, ainsi que la classe de Chern du fibré tangent, est toujours un multiple de $c_S$. On conjecture l’existence de telle classe aussi pour toute variété Calabi-Yau. Dans un travail en commun avec Hsueh-Yung Lin en cours, nous étudierons le cas des variétés Calabi-Yau de dimension 3 avec une structure de fibration.

Une fibration lc-triviale f:(X,B)->Y est une fibration telle que le diviseur log-canonique de la paire (X,B) est trivial le long des fibres de f. Comme dans le cas de la formule du fibré canonique pour des fibrations elliptiques, le diviseur log-canonique peut être écrit comme la somme du tiré en arrière de trois diviseurs : le diviseur canonique de Y; un diviseur, appelé discriminant, qui contient des informations sur les fibres singulières ; un diviseur appelé partie modulaire qui contient des informations sur la variation birationnelle des fibres. Il est conjecturé que la partie modulaire est semiample. Ambro a demontré la conjecture quand la base Y est une courbe. Dans cet expose on expliquera une stratégie pour démontrer la conjecture quand la base est une surface. Il s’agit d’un travail en cours en collaboration avec Vladimir Lazic.

Cet exposé est lié à  l’étude des algèbres de Hall cohomologiques associées à  certaines variétés de représentations de carquois. Celles-ci suscitent un intérêt grandissant dans des domaines connexes à  la théorie des cordes, contexte dans lequel il est important de considérer des carquois arbitraires, comme par exemple le carquois à  un sommet et g boucles (on sait son étude reliée à  celle des courbes de genre g). La première difficulté dans le cas des carquois arbitraires consiste à  définir des analogues des variétés nilpotentes de Lusztig. Il est en effet nécessaire de considérer des représentations dites semi-nilpotentes dans le cas général pour obtenir des sous-variétés Lagrangiennes.
Dans une collaboration avec Schiffmann et Vasserot, on réalise le décompte des points de ces variétés sur les corps finis, qui est relié à  des analogues des polynômes de Kac. Ce décompte repose largement sur l’étude pointue de variétés carquois de Nakajima, qui jouent ici le rôle de compactifications.
Ce décompte permet en fait de calculer le polynôme de Poincaré de l’algèbre de Hall cohomologique associée à  ces variétés semi-nilpotentes