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Séminaire de géométrie complexe

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A non-Levi branching rule in terms of Littelmann paths

26 septembre 2016 15:30-16:30 -
Oratrice ou orateur : Jacinta Torres
Résumé :

The Littelmann paths model is a strong tool used to understand finite-dimensional representations of complex semi-simple Lie algebras. It has remarkable applications, such as a rule for the the decomposition into simple summands of the tensor product of two irreducible representations and of the restriction of a simple representation to a Levi sub algebra (those obtained by removing nodes from the Dynkin diagram). Such rules are called branching rules. We prove a conjecture of Naito-Sagaki about a branching rule for the restriction of irreducible representations of mathfraksl(2n,mathbbC) to mathfraksp(2n,mathbbC) in terms of Littelmann paths. The embedding is given by the folding of the type A2n1 Dynkin diagram, and is not of Levi type. So far, no non-Levi branching rules were known in terms of Littelmann paths. This is joint work with Bea Schumann.


Phénomènes de positivité dans les algèbres de Hecke associées aux groupes de Coxeter arbitraires

27 juin 2016 15:30-16:30 -
Oratrice ou orateur : Thomas Gobet
Résumé :

Les algèbres de Hecke associées aux groupes de Weyl finis ou
affines sont centrales en théorie des représentations, en géométrie et en
topologie de petite dimension notamment. En 1979, motivés par des
questions reliées aux singularités des variétés de Schubert, Kazhdan et
Lusztig ont introduit deux bases (dites canoniques) de ces algèbres. Ils
en ont donné une définition purement combinatoire, qui se généralise aux
algèbres de Hecke associées aux groupes de Coxeter arbitraires. Ils ont en
outre formulé une conjecture de positivité: la matrice de changement de
base entre l’une des bases canoniques et la base dite standard de
l’algèbre de Hecke ne devrait avoir pour coefficients que des polynômes à 
coefficients positifs. Si cette conjecture a été rapidement démontrée par
Kazhdan et Lusztig (1980) dans le cas des groupes de Weyl en utilisant des
techniques géométriques, l’absence de telles techniques dans le cas
général a longtemps constitué un obstacle à  une approche générale,
jusqu’aux travaux de Soergel (2007): Soergel a proposé un remplacement à 
la géométrie (a priori) inexistante dans le cas général, ce qui a permis
une preuve récente de la conjecture de positivité en toute généralité par
Elias et Williamson (2014).

Après quelques rappels sur les groupes de Coxeter, leurs algèbres de Hecke
et les groupes d’Artin-Tits associés, nous tenterons d’expliquer l’idée de
la construction de Soergel, qui repose sur une technique de
catégorification, sans entrer dans les détails techniques. Nous
expliquerons comment cette approche peut également être utilisée pour
résoudre certaines généralisations de la conjecture de positivité énoncées
par Dyer, et reliées à  des problèmes touchant aux groupes d’Artin-Tits.


Un critère de quadraticité local pour la variété des représentations du groupe fondamental d'une variété algébrique lisse

6 juin 2016 15:30-16:30 -
Oratrice ou orateur : Louis-Clément Lefèvre
Résumé :

Nous nous intéressons aux groupes fondamentaux des variétés algébriques lisses complexes quasi-projectives, que nous étudions à  travers leurs représentations dans un groupe algébrique linéaire et les déformations de ces représentations.

Dans le cas d’une variété kählérienne compacte, la théorie de Goldman-Millson (1988) décrit précisément les obstructions aux déformations d’une représentation donnée, inspirée par les travaux sur le type d’homotopie réelle et la théorie de Hodge des variétés kählériennes compactes. Les seules obstructions sont d’ordre 2.

Pour une variété algébrique non compacte, la théorie est étendue par Kapovich-Millson (1998) à  l’aide de structures de Hodge mixtes. Nous montrons comment dans certains cas la théorie se réduit encore à  des seules obstructions d’ordre 2 et nous donnons des exemples o๠se phénomène se produit.

Travail prépublié arXiv:1509.02871


Formes différentielles logarithmiques et résidus

23 mai 2016 15:30-16:30 -
Oratrice ou orateur : Delphine Pol
Résumé :

Dans son papier fondamental, K. Saito développe la notion de formes différentielles logarithmiques et de résidus le long d’un diviseur réduit singulier. M. Granger et M. Schulze montre que lorsque le module des résidus logarithmiques est minimal, le diviseur est à  croisements normaux en codimension 1. Plus récemment, A.G. Aleksandrov et A. Tsikh ont généralisé certaines de ces notions au cas des intersections complètes. Dans cet exposé, je commencerai par introduire le module des formes différentielles logarithmiques et leurs résidus le long d’un diviseur ou d’une intersection complète. On s’intéressera ensuite au cas des courbes, pour lesquelles on relie les valuations du module des résidus aux valuations de l’idéal jacobien et des différentielles de Kähler.


Géométrie birationnelle sur certaines variétés algébriques munies de l'action d'un groupe algébrique réductif

25 avril 2016 14:00-16:30 -
Oratrice ou orateur : Boris Pasquier
Résumé :

Après une introduction intuitive de la géométrie birationnelle, j’expliquerai comment celle-ci peut devenir plus simple sur des variétés munies de l’action d’un groupe réductif. Je définirai ensuite les grandes lignes du programme des modèles minimaux, et je détaillerai comment décrire et faire tourner ce programme dans le cadre de familles « bien choisies » de variétés munies de l’action d’un groupe réductif, à  l’aide des représentations du groupe.


Solitons de Kähler-Ricci sur les compactifications de groupes

25 avril 2016 15:30-16:00 -
Oratrice ou orateur : Thibaut Delcroix
Résumé :

Je présenterai une condition nécessaire et suffisante d’existence
de solitons de Kähler-Ricci sur les compactifications de groupes, des
variétés qui généralisent les variétés toriques. La condition s’exprime
en terme d’un barycentre du polytope moment associé à  la variété et peut
se vérifier explicitement. Je discuterai ensuite l’interprétation de cette
condition en terme de K-stabilité, et mon travail en cours pour étendre
ces résultats aux variétés sphériques.


Sous-groupes algébriques connexes maximaux du groupe de Cremona

18 avril 2016 15:30-16:30 -
Oratrice ou orateur : Ronan Terpereau
Résumé :

Cet exposé est à  propos d’un travail en cours avec Jérémy Blanc (Bâle) et Andrea Fanelli (Bâle). Le groupe de Cremona est le groupe des transformations birationnelles de l’espace projectif complexe de dimension n. Ce groupe n’est pas algébrique dès lors que n>1, mais on peut espérer (au moins lorsque n est petit) classifier ses sous-groupes connexes algébriques maximaux.

En dimension 2, la classification est ancienne et bien connue (F. Enriques, 1893). En dimension 3, la première étude rigoureuse fà»t effectuée par H. Umemura dans les années 1980 dans une série de cinq papiers (plutôt longs et techniques).

Dans cet exposé, j’expliquerai comment on peut espérer redémontrer les résultats d’Umemura d’une façon beaucoup plus simple et géométrique à  l’aide (d’un usage élémentaire) de la théorie de Mori. Je terminerai en discutant plusieurs généralisations possibles des résultats d’Umemura via cette nouvelle approche.


Positivité et dualité sur les variétés complexes compactes lisses

14 mars 2016 15:30-16:00 -
Oratrice ou orateur : Dan Popovici
Résumé :

Nous présenterons notre solution à  la partie qualitative et notre solution partielle à  la partie quantitative de la conjecture de Demailly des inégalités de Morse transcendantes pour une différence de deux classes nef sur une variété kählérienne compacte. En plus d’estimations des solutions de certaines équations de Monge-Ampère, la méthode utilise la dualité entre la cohomologie de Bott-Chern et celle d’Aeppli de bidegré complémentaire, ainsi que la dualité entre le cône pseudoeffectif des classes de Bott-Chern de (1,1)-courants positifs fermés introduit par Demailly et le cône de Gauduchon des classes d’Aeppli de bidegré (n1,n1) de métriques de Gauduchon que nous avons introduit.


Caractérisation numérique des quadriques

7 mars 2016 15:30-16:00 -
Oratrice ou orateur : Thomas Dedieu
Résumé :

Je présenterai le résultat suivant obtenu en collaboration avec
Andreas Höring : soit X une variété de Fano, lisse et telle que
KXcdotCgeqdimX pour toute courbe rationnelle CsubsetX. Alors X est un espace projectif ou une hypersurface
quadrique.


Plongement de variétés presque complexes compactes dans une variété algébrique complexe

29 février 2016 15:30-16:00 -
Oratrice ou orateur : Hervé Gaussier
Résumé :

Dans ce travail en commun avec Jean-Pierre Demailly, nous montrons que toute variété presque complexe compacte lisse peut être plongée dans une variété algébrique complexe, transversalement à  une distribution algébrique.


Croissances et suites de degrés

22 février 2016 15:30-16:00 -
Oratrice ou orateur : Julie Déserti
Résumé :

Dans cet exposé je m’intéresserai aux croissances et suites de degrés des automorphismes polynomiaux de mathbbCn et des transformations birationnelles de mathbbPmathbbCn.


Actions des groupes de Schottky sur les variétés rationnelles homogènes

8 février 2016 15:30-16:30 -
Oratrice ou orateur : Christian Miebach
Résumé :

En 1877 Schottky a construit des actions libres et propres du
groupe libre de rang r sur un domaine de la sphère de Riemann qui ont pour quotient une surface de Riemann compacte de genre r.
En 1984 Nori a généralisé cette construction à  tout espace projectif complexe de dimension impaire dans le but d’obtenir des variétés complexes compactes dont le groupe fondamental est libre. Là¡russon ainsi que Seade et Verjovsky ont étudié des propriétés analytiques et géométriques de ces variétés quotients, comme leur dimensions algébrique
et de Kodaira, et leurs déformations. Je parlerai d’un travail récent avec Karl Oeljeklaus (Aix-Marseille Université) o๠nous avons considéré la question aux quelles variétés rationnelles homogènes on peut généraliser la construction de Nori. De plus, j’expliquerai les résultats que nous avons obtenus sur la géométrie des nouveaux exemples de variétés quotients.


Progrès récents dans l'étude des sous-variétés coisotropes des variétés holomorphes symplectiques

1 février 2016 15:30-16:30 -
Oratrice ou orateur : Gianluca Pacienza
Résumé :

Claire Voisin a récemment proposé une nouvelle approche pour l’étude du groupe de Chow des 0-cycles sur les variétés holomorphes symplectiques. Les objets clé dans cette approche sont les sous-variétés coisotropes de telles variétés. Dans l’exposé je présenterai des résultats portant sur l’existence et la théorie des déformations de sous-variétés coisotropes des variétés holomorphes symplectiques, obtenus dans une séries de travaux en collaboration avec F. Charles, Ch. Lehn et G. Mongardi.


Conjecture de la négativité bornée et constantes de Harbourne des surfaces abéliennes

25 janvier 2016 15:30-16:00 -
Oratrice ou orateur : Xavier Roulleau
Résumé :

La conjecture de la négativité bornée a été formulée par l’école italienne dès le début de la théorie des surfaces algébriques. Elle prévoit que pour une surface projective complexe lisse X, il existe une constante b telle que pour toute courbe C (réduite) sur X l’auto-intersection de C vérifie C^2 >b.
Même si on sait que cette conjecture est vérifiée par une surface donnée (par exemple le plan), on ne sait en général rien dire pour un éclatement (multiple) de cette surface. Les constantes de Harbourne ont été récemment introduites pour aborder cette question.
Dans cette exposé nous ferons le point sur les connaissances actuelles et présenterons nos résultats sur les surfaces abéliennes contenant des courbes elliptiques.


Endomorphismes permutables de mathbbP2

11 janvier 2016 14:00-15:00 -
Oratrice ou orateur : Lucas Kaufmann
Résumé :

On considère le problème de décrire les pairs d’endomorphismes holomorphes permutables (c.a.d. qui commutent) de l’espace projective complexe. Le cas de dimension 1 est classique et a été classifié par Fatou, Julia et Ritt sous la condition

fnneqgm pour tout n,mgeq1. (1)

En dimension quelconque un théorème de Dinh et Sibony montre que, si f et g sont des endomorphismes permutables de mathbbPk et leurs degrés satisfont dfnneqdgm pour tout n,mgeq1 alors f et g sont induits par des applications affines de mathbbCk après un quotient par un groupe discret de transformations affines. Leur conclusion n’est plus vraie si on remplace la condition sur les degrés par la condition plus faible fnneqgm pour tout n,mgeq1. Un contre exemple existe en dimension kgeq3.

Le but de cet exposé est de présenter une description des endomorphismes permutables du plan projectif sous la condition plus faible (1), ce qui complète la classification en dimension 2.


Structures de Hodge lacées et fibrés harmoniques

16 novembre 2015 14:00-15:00 -
Oratrice ou orateur : Jeremy Daniel
Résumé :

La théorie de Hodge non-abélienne étudie la correspondance entre fibrés
plats et fibrés de Higgs sur une variété projective, correspondance
établie via la notion intermédiaire de fibré harmonique. On expliquera
comment la donnée d’un fibré harmonique est équivalente à  la donnée d’une
variation de structures de Hodge lacées, ces structure étant des analogues
en dimension infinie des structures de Hodge. Cette approche permet en
particulier d’associer une application des périodes à  tout fibré
harmonique, et ainsi d’imiter les techniques de théorie de Hodge
classique.


Semi-positivité du cotangent logarithmique et conjecture de Shafarevich-Viehweg [d'après Campana, Păun, Taji,...]

2 novembre 2015 14:00-15:00 -
Oratrice ou orateur : Benoît Claudon
Résumé :

Démontrée par A. Parshin et S. Arakelov au début des années 1970,
la conjecture d’hyperbolicité de Shafarevich affirme qu’une famille de
courbes de genre g ≥ 2 paramétrée par une courbe non hyperbolique
(c’est-à -dire isomorphe à  mathbbP1, mathbbC, mathbbC ou une courbe elliptique)
est automatiquement isotriviale : les modules des fibres lisses sont
constants. En dimension supérieure, les travaux de E. Viehweg sur les
modules des variétés canoniquement polarisées l’ont amené à  formuler la
généralisation suivante : si une famille de variétés canoniquement
polarisées (paramétrée par une base quasi-projective) est de variation
maximale, alors la base est de log-type général. Il s’agit donc d’une
forme d’hyperbolicité algébrique attendue pour l’espace des modules. En
adaptant des résultats dus à  Y. Miyaoka sur la semi-positivité
générique du fibré cotangent au cadre logarithmique (et orbifolde), F.
Campana et M. Păun ont récemment obtenu une réponse positive à  la
conjecture de Viehweg. Cet exposé sera également l’occasion de
donner un aperçu de la classification des orbifoldes développée par
F. Campana. C’est d’ailleurs dans ce cadre que s’énonce la forme
optimale de la conjecture de Viehweg démontrée par B. Taji.


Familles d'espaces de modules de faisceaux stables sur les surfaces K3

8 juin 2015 14:00-15:00 -
Oratrice ou orateur : Matei Toma
Résumé :

Structure de l'espace de Teichmà¼ller en dimension supérieure.

1 juin 2015 14:00-15:00 -
Oratrice ou orateur : Laurent Meersseman
Résumé :

L’espace de Teichmà¼ller d’une variété X réelle compacte orientée est classiquement défini comme le quotient de l’ensemble des opérateurs complexes sur X par l’action du groupe des difféomorphismes isotopes à  l’identité. C’est naturellement une variété complexe lorsque X est une surface. En dimension supérieure, malheureusement, ce n’est en général ni une variété ni un espace analytique, mais seulement un champ analytique. Le but de cet exposé est de décrire la structure locale de ce champ, en comparant l’espace de Teichmà¼ller au voisinage d’un point J et l’espace de Kuranishi K de J. Le point central est d’expliquer qu’il ne s’agit pas simplement du quotient de K par l’action du groupe d’automorphismes de J, mais qu’il faut intégrer l’holonomie d’une structure multifeuilletée de l’espace des opérateurs complexes sur X.


Variation des espaces de modules de faisceaux semistables sur les variétés de dimension supérieure

18 mai 2015 14:00-15:00 -
Oratrice ou orateur : Matei Toma
Résumé :

Gieseker et Maruyama ont construit des espaces de modules de faisceaux semistables au dessus des variétés projectives polarisées de dimension supérieure a un. Le changement de la polarisation entraine en général une variation des espaces de modules correspondants, variation qui a été l’objet d’études approfondies en dimension deux. La poursuite de ces études en dimension supérieure s’est heurtée a l’apparition de façon essentielle des polarisations irrationnelles pour lesquelles même une construction des espaces de modules n’était pas disponible. Dans cet exposé nous présentons un travail en commun avec Daniel Greb et Julius Ross, dans lequel nous introduisons et étudions une nouvelle notion de stabilité qui nous permet de résoudre ces problèmes de construction et de variation au moins en dimension trois. Les nouveaux espaces de modules apparaissent comme des sous-schémas des espaces de modules de représentations de carquois.


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