L’exposé portera sur les connexions logarithmiques sur la sphère de Riemann et leurs déformations isomonodromiques.
On introduira une notion d’algébrisabilté pour le germe de déformation isomonodromique universelle d’une telle connexion.
Le résultat principal est le suivant (avec quelques hypothèses) :
Pour un connexion logarithmique D sur un fibré vectoriel au dessus de CP1,
la déformation isomonodromique universelle de D est algébrisable
si et seulement si
la classe de conjugaison de sa monodromie a une orbite finie sous le Mapping Class Group de la sphère épointée.

Si le temps le permet on présentera un travail en cours (avec D. Moussard) déterminant les orbites finies qui apparaissent dans cet énoncé, pour les connexions de rang deux réductibles.

Dans cet exposé, nous étudierons les familles complètes de courbes lisses dans $mathbb P^3$, c’est-à -dire les sous-variétés propres du schéma de Hilbert des courbes lisses dans $mathbb P^3$. D’une part, nous construirons des exemples non triviaux de telles familles. D’autre part, nous obtiendrons des restrictions sur les familles complètes de courbes lisses polarisées pouvant en induire. Les deux résultats reposent sur l’étude de la forte semistabilité de certains fibrés vectoriels.

Coadjoint orbits of Lie groups are examples of symplectic manifolds endowed
with a Hamiltonian action. We will consider elliptic coadjoint orbits
of a real semi-simple Lie group $G$. If $G$ is a compact Lie group, then any
orbit $O$ is elliptic. In the general setup the orbit $O$ has a unique invariant
complex structure such that the Kirillov-Kostant-Souriau form is Kählerian.
It turns out that the convex hull $hat O$ of $O$ is closely related to the complex
geometry of $O$. More precisely, the faces of $hat O$ are given as convex hulls of
orbits of centralizer subgroups and there is a strong connection to compact
orbits of parabolic subgroups of the complexi ed group $G^{mathbb C}$.

Une structure réelle sur une variété projective complexe $X$ est une involution antiholomorphe sur cette variété. La donnée d’une telle structure équivaut à  la donnée d’une variété réelle $X_0$ dont la complexification est isomorphe à  $X$ (on dit alors que $X_0$ est une forme réelle de $X$).
Le but de cet exposé est de montrer comment l’étude des groupes d’automorphismes des éclatés du plan projectif complexe peut être utilisée en vue de donner des éléments de réponse à  la question de la finitude du nombre de classes d’équivalence de structures réelles sur ces éclatés, i.e. la finitude du nombre de leurs formes réelles à  isomorphisme près.

Dans un travail en commun avec J. Pereira, F. Loray et F. Touzet, nous nous intéressons aux feuilletages de codimension un (sur une variété kählérienne compacte ou même projective) ayant au moins une feuille compacte. Cette feuille est alors une hypersurface plongée dans la variété ambiante dont le fibré normal est topologiquement de torsion et une partie importante de l’information sur la structure transverse du feuilletage est contenue dans la représentation d’holonomie. Nous abordons en particulier les problèmes suivants : existence de feuilletages ayant pour feuille une hypersurface donnée, feuilletages ayant une holonomie abélienne et résultats de factorisation. La plupart des résultats que nous obtenons en réponse à  ces problèmes s’énoncent en termes de théorie d’Ueda et cet exposé sera également l’occasion d’un bref survol de cette dernière.

Ceci sera la dernière séance du groupe de travail. Un workshop sur le même sujet est prévu à  Dijon, les 7 et 8 avril prochains.

Les exposés porteront sur le théorème de décomposition, à  nouveau un peu sur le yoga des poids, sur certaines descriptions des faisceaux pervers par des carquois, et sur des applications du théorème de décomposition.

La théorie des densités des courants positifs fermés est une extension
de la notion de multiplicité pour les variétés, ou de nombre de Lelong pour les courants.
Les densités sont des classes de cohomologie associées aux courants tangents, à  un courant donné,
le long d’une sous variété complexe.Ces classes vivent dans le fibré normal à  la sous variété et décrivent les propriétés tangentielles du courant.
La notion est utile pour développer une théorie des intersections non-génériques.Comme application on obtient le Théorème suivant.
Soit f un automorphisme polynomial régulier de C^k. Les points périodiques de type selle
s’equidistribuent selon la mesure d’équilibre de f.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec T.C Dinh.

I will talk about two related projects, applying recent methods in Kähler geometry to some questions in physics. First, I will explain, how to use the sections of positive line bundle on Riemann surfaces and on Kahler manifolds to construct Laughlin wave functions for integer and fractional Quantum Hall effect and compute their scaling limits for large number of particles. Second, I will talk about a proposal to define statistical sums over geometries, using the approach of random Bergman metrics.

The aim of this paper is to give some comments on the construction by H. Hironaka [H.61] of a holomorphic (in fact algebraic) family of compact complex manifolds parametrized by $mathbb C$ such for all $u in mathbb C setminus {0}$ the fiber is projective, but such that the fiber at the origin is non kählerian. We also explain why it is not possible to make in the same way such a family with fiber at $0$ a simpler example of non kählerian Moishezon manifold which is also due to H. Hironaka.

This paper does not give a complete proof of Hironaka’s construction. It only tries to give some help for the reader of this famous article and tries to explain some points which are not explicit although they are well known to specialists.

Les nombres de Chern $c_1^2,c_2inmathbb{Z}$ d’une surface complexe lisse minimale $X$ vérifient l’inégalité de Bogomolov-Miyaoka-Yau $c_1^2leq 3c_2$.
Une surface satisfaisant l’égalité $c_1^2=3c_2$ n’est jamais simplement connexe et Bogomolov demandait à  la fin des années 70 si on peut améliorer l’inégalité de Bogomolov-Miyaoka-Yau en $c_1^2leq ac_2$ avec $a<3$, si on suppose que $X$ est de plus simplement connexe.
Dans cet exposé, on montre qu'il existe des surfaces spin (resp. non-spin) simplement connexes avec $c_1^2/c_2$ arbitrairement proche de 3, et donc que la réponse est négative. La construction se fait à  l’aide de revêtements cycliques du plan ramifiés au-dessus de certains arrangements de cubiques planes lisses, et est un écho des constructions de Hirzebruch de surfaces vérifiant l’égalité $c_1^2=3c_2$ obtenues à  l’aide d’arrangements de droites.

Travail en collaboration avec G. Urzua.

Sur un espace homogène, tout fibré équivariant irréductible est stable au sens de Mumford. J’esquisserai une preuve de ce résultat due à  Biswas. Par ailleurs, par des résultats de Mehta-Ramanathan ou Flenner, la restriction d’un fibré stable à  une intersection complète générique de grand degré reste stable.
Une question naturelle se pose alors : étant donné un fibré homogène irréductible, sur quelles intersections complètes le fibré devient-il instable, s’il y en a ?
Je présenterai plusieurs résultats montrant que, dans le cas du fibré cotangent sur un espace homogène minuscule (par exemple une Grassmannienne), de telles intersections complètes sont très rares. Leurs démonstrations reposeront sur un théorème d’annulation original concernant la cohomologie de Dolbeault des fibrés en droites sur ces espaces homogènes.

Dans cet exposé j’essayerai d’expliquer les résultats de C. Xu sur les groupes fondamentaux épointés de germes de singularité klt (c’est à  dire le groupe fondamental d’un voisinage analytique assez petit privé du point singulier considéré). La démonstration repose en grande partie sur des résultats récents du MMP.

Au cours de leur classification des faux plans projectifs, Cartwright et Steger ont découvert de façon assez surprenante une surface de caractéristique d’Euler 3 dont le revêtement universel est la boule, et qui fibre sur une courbe elliptique. Le but de cet exposé sera de décrire de façon aussi précise que possible la géométrie de cette surface. Il s’agit d’un travail en commun avec D. Cartwright et S.-K. Yeung.

Ceci est un exposé de groupe de travail. J’essaierai d’expliquer certains travaux de Maryam Mirzakhani sur les volumes d’espaces de modules, un peu plus en détail qu’à  la journée d’accueil de l’IECL.

A classical uniformization result of Yau shows that any compact Kähler manifold with vanishing
Chern classes is, up to a cover, an Abelian variety. After generalizing this result to the context
of Kawamata log-terminal (or klt, for short) varieties, we prove a complete characterization of quotients
of Abelian varieties (by finite groups acting freely in codimension-one) via vanishing of (orbifold) Chern classes.
The main ingredient of the proof consists of tracing a correspondence (up to a suitable cover) between
semistable reflexive sheaves over klt spaces with vanishing orbifold Chern classes and locally-free sheaves whose
associated bundle is flat.
This is a joint work with Steven Lu.

Un quotient de la boule est une variété complexe compacte ou de volume fini dont le revêtement universel est isomorphe à  la boule unité de $mathbb C^N$. Il est en général difficile de construire des exemples d’applications holomorphes surjectives entre de telles variétés, mis à  part les revêtements finis. Quelques exemples ont été construits et étudiés par Mostow, Toledo et Deraux. Dans cet exposé j’expliquerai comment construire quelques nouveaux exemples. Cela repose sur les travaux de Couwenberg, Heckman and Looijenga.

Un résultat surprenant de Danilov-Gizatullin dit que la classe d’isomorphie abstraite du complémentaire d’une section ample dans une surface de Hirzebruch ne dépend que de l’auto-intersection de cette section: en particulier elle ne dépend ni de la surface projective ambiante, ni du choix de la section à  auto-intersection fixée. Un tel complémentaire possède la structure topologique naturelle d’un fibré en droites complexes sur la sphère, et le résultat de Danilov-Gizatullin dit de manière équivalente que son type d’isomorphie en tant que variété algébrique affine est uniquement déterminé par le degré de ce fibré en droites sous-jacent. Plus généralement, le complémentaire d’un sous-fibré en hyperplans d’un fibré projectif sur la droite projective est homéomorphe à  un fibré vectoriel complexe sur la sphère et l’on peut formuler la conjecture, a priori très optimiste et ne reposant sur aucune base sérieuse, que sous certaines conditions raisonnables portant sur le sous-fibré (pas exemple, son amplitude), le type d’isomorphie abstrait en tant que variété algébrique d’un tel complémentaire est de nouveau totalement déterminé par le type topologique du fibré vectoriel sous-jacent, soit donc uniquement par son rang et son degré. Nous verrons durant l’exposé que cette « conjecture » s’avère ne pas être aussi fausse que prévue …

Je présenterai les principales étapes de mon programme pour étudier la torsion dans la cohomologie des espaces de Lubin-Tate et des variétés de Shimura à  la Harris-Taylor-Kottwitz, via l’étude d’une version entière de la filtration de monodromie-poids du faisceau pervers des cycles évanescents.

On construit certains fibrés aCM stables sur des hypersurfaces cubiques. Pour étudier la géométrie de leurs espaces de modules on utilise une sous-catégorie triangulée de la catégorie dérivée des faisceaux cohérents qui les contient naturellement. Il s’agit d’une collaboration avec Emanuele Macrଠet Paolo Stellari.