I will briefly recall what is known about the rationality problem for smooth projective hypersurfaces. I then aim to explain how to prove the following new result: a very general hypersurface of dimension n>2 and degree at least log_2(n)+2 is not stably rational.

I will briefly recall what is known about the rationality problem for smooth projective hypersurfaces. I then aim to explain how to prove the following new result: a very general hypersurface of dimension n>2 and degree at least log_2(n)+2 is not stably rational.

L’étude des régulateurs revêt une importance toute particulière dans la compréhension du nombre du classes dans les familles de corps de nombres, et dans la compréhension de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer dans le cas des variétés abéliennes. Ils jouent de plus un rôle clef dans les questions d’estimations sur le nombre de points rationnels de hauteur bornée sur une variété projective.
On présentera dans cet exposé trois inégalités, et les corollaires qui leur sont associés. La première, initiatrice de cet axe de recherche, est une minoration du régulateur des corps de nombres en fonction de leur discriminant et de leur degré : elle repose sur des travaux de Silverman et Friedman. La seconde concerne le régulateur des groupes de Mordell-Weil et la hauteur de Faltings des variétés abéliennes : elle est encore conjecturale. La troisième est inconditionnelle et concerne plus particulièrement les courbes elliptiques, elle fait l’objet d’un article récent en collaboration avec Pascal Autissier et Marc Hindry.

The question whether a class of varieties with fixed invariants form a bounded family is a crucial problem in algebraic geometry. In this talk I will report on such question from the point of view of Mori theory. In particular, in a joint work with D. Martinelli and S. Schreieder we treated the case of log minimal models of general type. I will also explain related results on the number of minimal models.

The Mumford-Tate conjecture relates the Hodge structure on the singular
cohomology of an algebraic variety (over a number field) with the
Galois
representation on the etale cohomology of that variety. In this talk I
will report on techniques for proving the Mumford-Tate conjecture for
products of abelian varieties, under the assumption that the conjecture
is known for the factors.

I will address the question to which extent properties of the canonical class of a projective variety with mild singularities depend on its numerical class, in light of recent surprising connections between several central conjectures in birational geometry. This is joint work with Thomas Peternell.

A conjecture of Green-Griffiths-Lang predicts that a projective variety of general type does not admit a dense entire curve in the complex analytic topology.
We propose and investigate a non-archimedean analogue of this conjecture in which we replace « dense entire curve in the complex analytic topology » by « dense entire curve in the non-archimedean topology ». This is joint work with Alberto Vezzani.

Depuis le théorème de décomposition de Bogomolov, les variétés hyperkählériennes jouent un rôle important en géométrie algébrique, elles peuvent être considérées comme des briques élémentaires dans le projet de classification des variétés kählériennes. En 2011, Verbitsky démontre un outil fondamental à  l’origine de nombreux développements : le théorème de Torelli global. L’idée est de pouvoir retrouver la géométrie de la variété à  partir de la structure de Hodge de son second groupe de cohomologie comme dans le cas des surfaces K3. Une orbifolde est une généralisation de variété constituée par le recollement de quotients d’ouverts de C^n par des groupes finis. Dans cet exposé nous verrons, dans les grandes lignes, comment le théorème de Torelli global peut être étendu au cas des orbifoldes symplectiques irréductibles.

A question of Orlov is whether the derived category of the Grothendieck-Knudsen moduli space M(0,n) of stable, rational curves with n markings admits a full, strong, exceptional collection that is invariant under the action of the symmetric group S_n. A consequence of the conjecture is
that the S_n representation given by the cohomology is a permutation representation. After an introduction to moduli
spaces of stable rational curves and exceptional collections, I will present an approach towards answering this question (joint work with Jenia Tevelev).

Travail en collaboration avec Marta Agustà­n Vicente. L’objet de cet exposé est l’étude des nombres de Betti de la cohomologie d’intersection (rationnelle) des variétés algébriques complexes compactes dotées d’une action d’un tore algébrique dont les orbites générales sont de codimension un. De telles variétés admettent une description géométrique et combinatoire en termes d’éventails divisoriels (notion généralisant le passage d’un éventail de cones rationnels à  une variété torique). Cette description encode la donnée d’un morphisme birationnel propre (le morphisme de contraction) dont le but est notre variété initiale et la source est une fibration torique au dessus d’une courbe algébrique lisse. En utilisant des travaux récents de de Cataldo, Migliorini et Mustata, et en étudiant le théorème de décomposition pour l’application de contraction, nous expliquerons comment on peut décrire les nombres de Betti de façon récursive en fonction de l’eventail divisoriel associé.

Soit X une variété compacte kählérienne. Le problème de Kodaira demande si X admet toujours une déformation au-dessus d’une base qui contient une partie dense paramétrant des variétés projectives. Pour les surfaces, une telle déformation existe toujours (Kodaira), tandis qu’en chaque dimension plus grande que 4, il existe des variétés répondant négativement à  ce problème (Voisin). Dans cet exposé, nous expliquerons notre solution au problème de Kodaira pour les variétés de dimension 3.

On va présenter une caractérisation birationnelle des
variétés abéliennes comme les variétés de dimension de Kodaira 0
telles
que une puissance symétrique du cotangent soit génériquement engendrée
par les sections globales.
Après avoir donné une idée de la preuve,
on va montrer quelques unes des propriétés de positivité de fibrés
vectoriels qui ont motivé ce résultat:
la construction des lieux de base asymptotiques et de la fibration de Kodaira.

What properties should a projective variety over a number field with only finitely many « rational points » have?
A conjecture of Green-Griffiths-Lang predicts that such a variety should be hyperbolic in a complex-analytic sense.
In this talk I will explain how to verify some predictions made by this conjecture.

Etant donné un automorphisme (ou une transformation birationnelle) f d’une variété projective complexe X, on s’intéresse à  des propriétés dynamiques telles que le comportement des orbites typiques ou l’existence de points périodiques. Cette étude est simplifiée lorsque f permute les fibres d’une fibration non-triviale $picolonXtoB$: la dynamique est alors décomposée en une dynamique sur la base B plus une dynamique sur les fibres. Une des premières questions est alors de déterminer sous quelles conditions la dynamique sur la base est finie; je présenterai un résultat dans cette direction, dont la preuve passe par un argument d’intégration p-adique. Le critère s’applique notamment aux transformations birationnelles des variétés symplectiques holomorphes irréductibles.
Si le temps me le permet, je présenterai des travaux plus récents en collaboration avec E.Rousseau et F.Touzet, qui traitent une version locale du même problème: au lieu d’une fibration, on suppose que f préserve un feuilletage F et on se demande sous quelles hypothèses un itéré de f préserve toute feuille de F.

En théorie des nombres, la suite de Brauer-Hasse-Noether est un résultat fondamental qui permet de comprendre les algèbres simples centrales sur le corps des nombres rationnels (ou ses extensions finies). Dans cet exposé, je vais présenter des généralisations de ces suites à  des situations plus géométriques, o๠le corps des nombres rationnels est remplacé par un corps de séries de Laurent à  deux variables.

Étant donné une courbe lisse C plongée dans sa Jacobienne J par une application d’Abel-Jacobi, le schéma de Hilbert H de J contenant le point [C] pour ce plongement est égal à  J en tant qu’ensemble. Cette égalité est schématique si C n’est pas hyperelliptique. Dans cet exposé on décrit la structure non-réduite de H le long de J dans le cas hyperelliptique. On en déduit en corollaire la structure de schéma sur l’espace des modules des faisceaux de Picard sur J, introduit par Mukai.

In 1962 Shafarevich conjectured that the base quasi-projective curve of any smooth, non-isotrivial family of projective curves with genus >1 is hyperbolic, which was proved by Parshin and Arakelov. The higher dimensional Shafarevich hyperbolicity conjecture (SHC) can be formulated as follows: let Y be the quasi-projective base of any family of canonically polarized manifolds whose induced moduli map is quasi-finite. Then Y is of log general type (algebraic version) , and Y is Kobayashi hyperbolic (analytic version). The algebraic SHC was proved by Campana-Păun in 2015, combining previous work by Viehweg-Zuo. The analytic SHC was first proved by Viehweg-Zuo in 2002 for Brody hyperbolicity, and later by To-Yeung in 2014 for Kobayashi hyperbolicity. In this talk, I will present my recent work (jointly with Abramovich) on the extension of the aforementioned work by To-Yeung, to the moduli spaces of minimal projective manifolds.

I will recall the stacks of shtukas, their cohomologies and constant term morphisms. Then I will show that the contractibility of deep enough strata implies that the cohomologies are Hecke algebra modules of finite type. Then we can extend the definition of the excursion operators of V.Lafforgue from the space of cuspidal automorphic forms to the space of automorphic forms.

Dans cet exposé, j’introduirai la notion de feuilles symplectiques chirales qui peuvent être vues comme des analogues des feuilles symplectiques pour les algèbres vertex de Poisson. A l’aide de cette notion, je montrerai que toute algèbre vertex quasi-lisse est une quantification de l’espace d’arc de sa variété associée. Je présenterai aussi une application aux espaces d’arcs des tranches de Slodowy et au centre de vertex des W-algebres de niveau critique.