Irreducible characters form an interesting basis in the space of of class functions (i.e. functions constant on conjugacy classes) on a finite group G, the goal of harmonic analysis and representation theory is to study properties and applications of that basis.

If G is a reductive p-adic group, such as the group of invertible matrices with p-adic entries, then irreducible characters are known to behave in a regular way not only on conjugacy classes (on  which they are constant) but also on the so called stable conjugacy classes, i.e. the set of elements conjugate over the algebraic closure of the base field (for example, two sheets of a hyperboloid in R^3 are two SL(3,R) orbits inside a single stable orbit). This is studied in the theory of endoscopy in harmonic analysis on p-adic group.

I will give an overview of a long term joint project with Kazhdan and Varshavsky aimed at applying algebraic geometry, including l-adic sheaves, to problems in that theory.

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Comme tous les Séminaires Communs de Géométrie, cet exposé sera en deux parties : une première partie « colloquium » de 14h à 14h45, puis une partie plus avancée de 15h15 à 16h. Une pause thé-gateaux-géométrie vous est proposée entre les deux exposés.

Dans cet exposé, je présenterai la généralisation de la notion de fibré en droites pseudo-effectif en rang supérieur. En particulier, je présenterai la preuve du fait qu’un fibré vectoriel pseudo-effectif au sens fort avec la première classe de Chern nulle sur une variété kählerienne compacte est numériqument plat. La preuve est basée sur une construction naturelle d’un courant positif dans la première classe de Chern qui s’applique à la grande généralité. Le cas projectif était démontré par Campana-Cao-Matsumura et Hosono-Iwai-Matsumura.Comme conséquence, le fibré tangent ou cotangent de variétés de Calabi-Yau ou symplectique holomorphe irréductible n’est pas pseudo-effectif au sens fort.

Je vais décrire un algorithme calculant les invariants de Gromov-Witten des intersections complètes dans l’espace projectif, en tout genre et avec des insertions arbitraires. L’idée principale est de montrer que les invariants avec insertions de classes de cohomologie primitives sont contrôlés par la monodromie et des invariants définis sans insertions primitives mais avec des noeuds imposés sur les courbes. Pour calculer ces invariants de Gromov-Witten nodaux, nous introduisons la notion nouvelle d’invariants de Gromov-Witten relatifs nodaux. C’est un travail en commun avec Pierrick Bousseau, Rahul Pandharipande, et Dimitri Zvonkine (arxiv:2109.13323).

On peut obtenir un tore en recollant abstraitement les deux paires de côtés opposés d’un carré, sans le déformer. Un tel tore vient alors naturellement fourni d’une métrique à courbure constante nulle, c’est pourquoi on l’appelle tore plat carré. Cette construction se généralise en prenant n’importe quel parallélogramme à la place du carré. Modulo une relation d’équivalence, tous les tores plats vivent alors sur la courbe modulaire.

Dans cet exposé, je présenterai une construction assez simple qui permet d’obtenir tous les tores de la courbe modulaire comme des polyèdres et j’esquisserai une demonstration de ce fait. Je présenterai aussi des variations de la construction qui permettent d’obtenir des exemples de réalisations polyédrales de surfaces de translation.Ceci est un travail en collaboration avec Samuel Lelièvre (Orsay) et Pierre Arnoux (Marseille).

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Comme tous les « Séminaires communs de géométrie », ce séminaire comprend deux séances : de 14h à 15h45, un exposé « colloquium » s’adressant à tous les mathématiciens, puis de 15h15 à 16h un exposé  « recherche » qui approfondira ce qui aura été présenté au premier exposé.

Let $X$ be a complex projective Hyperkähler manifold. By a recent result of Höring and Peternell, the cotangent bundle of $X$ is not pseudoeffective. One way to measure this negativity more precisely is to give sufficient conditions on an ample line bundle $A$ such that the twist $\Omega_X \otimes A$ is pseudoeffective. I will give a sufficient condition that depends only on the deformation’s type of $X$. Then I will discuss when this sufficient condition is also necessary. At the end I’ll briefly present some recent progress on the case of degree two K3 surfaces. This is a joint work with Andreas Höring.

En 1988 Mukai classifia les groupes finis d’automorphismes symplectiques sur une surface K3, en exhibant 11 groupes maximaux, tous sous-groupes du groupe simple de Mathieu M_23. Plus tard, la démonstration de Mukai a été simplifiée par Xiao e Kondo.
Les variétés hyper-kählériennes sont une généralisation des surfaces K3 en dimension supérieure. Le problème de classifier leurs automorphismes symplectiques est encore ouvert.
Dans mon exposé je parlerai des principales techniques et des résultats établis par Camere, Mongardi, Höhn et Mason sur les automorphismes des schémas de Hilbert ponctuels sur une surface K3 et par Grossi, Onorati et moi sur les variétés d’O’Grady de dimension 6.

I will talk about the problem of determining the birational complexity of moduli spaces of curves and K3 surfaces. I will recall some recently introduced invariants that measure irrationality and talk about what is known for these moduli spaces. In the second half I will report on joint work with D. Agostini and K.-W. Lai, where we study how the degrees of irrationality of the moduli spaces of polarized K3 surfaces grow with respect to the genus g. We provide polynomial bounds. The proof relies on Kudla’s modularity conjecture for Shimura varieties of orthogonal type. For special genera we explot the deep Hodge theoretic relation between K3 surfaces and special hyperkähler fourfolds to obtain much sharper bounds.

Autour de l’an 2000, Hassett et Tschinkel ont formulé des
conjectures concernant les courbes extremales sur le schema de Hilbert
d’une surface K3. La version corrigée de ces conjectures a été
démontrée par Bayer et Macri en 2015 avec des outils très techniques.
Il semble qu’il n’y avait pas d’argument géométrique élémentaire même
pour Hilb^2. En collaboration avec Verbitsky, nous fournissons un tel
argument en basse dimension, dont une certaine élaboration pourrait
eventuellement permettre d’obtenir la reponse de Bayer et Macri en
général.

Je vais expliquer un travail en commun récent avec Olivier Biquard où l’on analyse deux situations où l’on fait dégénérer des métrique coniques de Kähler-Einstein en faisant tendre l’angle de cône vers 0 pour obtenir une métrique Kähler-Einstein complète.

En courbure positive, on retrouve la métrique de Tian-Yau sur le complémentaire d’un diviseur anticanonique dans variété de Fano, et en courbure négative, on retrouve la métrique de Bergman sur un quotient de domaine symétrique borné.

Les algèbres amassées sont des anneaux commutatifs intègres avec une structure combinatoire particulière.
Cette structure consiste en la donnée d’une famille de graines, liées entre elles par une opération appelée mutation. Chaque graine est composée de deux parties : un amas et un carquois. Les variétés de Richardson ouvertes sont des strates de la variété de drapeaux associée à un groupe linéaire algébrique de type simplement lacé. Elles sont l’intersection de cellules de Schubert respectivement à deux sous-groupes de Borel opposés. Dans [Lec16], une sous-algèbre amassée de rang maximal sur l’anneau de coordonnées d’une variété de Richardson ouverte a été construite et cette sous-algèbre est conjecturée être égale à l’anneau entier. La construction de cette algèbre amassée provient d’une catégorie de Frobenius C_{v,w} de modules sur l’algèbre préprojective, définie comme intersection de deux catégories C_w et C_v déjà étudiées par Geiss, Leclerc, Schröer et Buan, Iyama, Reiten et Scott. Le lien entre les algèbres amassées et les structures amassées est donné par le caractère d’amas défini dans [GLS06].

Dans cet exposé, après un rappel du contexte, je construis un algorithme qui, étant donné les paramètres définissant une variété de Richardson ouverte, construit un module rigide maximal explicite de la catégorie de Frobenius associée et son carquois. Cet algorithme a pour donnée de départ la graine initiale pour la structure amassée sur C_w définie par un représentant w d’un élément w du groupe de Weyl. Par le biais d’une suite de mutations déterminée combinatoirement, on obtient à partir de la graine initiale un module rigide maximal de Cw qui, à suppression de certains facteurs directs près, est un module rigide maximal de Cv,w. De plus le sous-carquois du carquois muté est exactement le carquois de l’algèbre d’endomorphisme du module rigide maximal de Cv,w donnant alors la description complète d’une graine initiale pour la structure amassée de Cv,w.

The minimal model program has proven to be a powerful way to study the geometry of varieties, and recent years have shown that the insights of the minimal model program can be applied to the study of foliations.  I will explain some recent work on the existence of minimal models for foliations, especially in the case

Au cœur du programme de Langlands se trouve l’étude des représentations des groupes $p$-adiques. Un objet particulièrement intéressant pour étudier ces dernières est l’immeuble de Bruhat-Tits. Dans cet exposé, nous étudierons le lien qui existe entre les représentations d’un groupe $p$-adique et les cofaisceaux sur l’immeuble de Bruhat-Tits. En particulier, les méthodes mise en place sont valable pour les représentations $\ell$-modulaires. Nous verrons également, comment obtenir des décompositions de la catégorie des représentations $\ell$-modulaires d’un groupe $p$-adique à l’aide de systèmes d’idempotents associés à l’immeuble de Bruhat-Tits.

Dans cet exposé je présente certaines méthodes développées au cours de ma thèse. Le problème est le suivant : soient $k$ un corps (algébriquement clos) et $G$ un $k$-groupe réductif. Notons $\mathfrak{g}$ son algèbre de Lie. Si $k$ est de caractéristique nulle, l’existence de l’exponentielle permet d’intégrer toute sous-algèbre de Lie nilpotente $\mathfrak{u}\subseteq\mathfrak{g}$ en un sous-groupe unipotent lisse et connexe U⊆G tel que $Lie(U)$= $\mathfrak{u}$. Si maintenant $k$ est de caractéristique $p >0$ l’exponentielle d’éléments nilpotents de $\mathfrak{g}$ n’est plus toujours bien définie et il n’est plus a priori possible d’intégrer une sous-algèbre de Lie nilpotente arbitraire de $\mathfrak{g}$.Nous nous intéresserons ici à l’intégration des $p$-sous-algèbres restreintes $p$-nil de $\mathfrak{g}$ (à savoir les bons analogues en caractéristique $p>0$ des sous-algèbres de Lie nilpotentes de $\mathfrak{g}$). Après avoir présenté les travaux de J-P. Serre et ceux, plus récents, de P. Deligne, V. Balaji et A. J.Parameswaran qui assurent une intégration systématique de tels objets pour une borne “raisonnable » sur $\mathfrak{p}$, nous discuterons le cas plus complexe des petites caractéristiques. J’expliquerai notamment comment ma généralisation d’un théorème de P. Deligne permet l’intégration decertaines sous-algèbres de Lie $p$-nil (maximales pour un certain critère) de $\mathfrak{g}$.

En utilisant la torsion analytique, Bershadsky, Cecotti, Ooguri et Vafa ont défini un invariant à valeurs réelles, appelé l’invariant de BCOV, pour les variétés de Calabi-Yau. L’invariant de BCOV est conjecturalement le miroir dans le B-modèle de l’invariant de Gromov-Witten de genre 1. Après une introduction à cet invariant, je vais présenter la démonstration récente de la conjecture de Fang-Lu-Yoshikawa, qui dit que deux variétés de Calabi-Yau birationnellement isomorphes ont le même invariant de BCOV. Si le temps le permet, j’expliquerai une généralisation de la définition des invariants de BCOV pour les variétés de Calabi-Yau singulières, ainsi que son invariance birationnelle.  Il s’agit d’un travail commun avec Yeping Zhang (arXiv: 2007.04835).

Dans un espace projectif complexe, le nombre des points (sans compter la multiplicité) de l’intersection d’une courbe algébrique et d’une hypersurface générique est le produit de leur degré. J’explique comment obtenir un énoncé analogue pour des courbes holomorphes entières.