Cet exposé devrait être similaire au séminaire qui sera donné le 18 novembre au séminaire Bourbaki par Alexandre Afgoustidis.

Titre : Progrès récents sur les représentations supercuspidales

Résumé : Soit G un groupe réductif sur un corps local non-archimédien F. Pour les questions de classification des représentations lisses irréductibles de G, l’étude des représentations supercuspidales – celles dont les coefficients matriciels sont à support compact modulo le centre – est en quelque sorte le noyau dur. Les progrès dans cette étude ont été continus depuis cinquante ans. Dans des cas « modérés » où la caractéristique résiduelle de F est suffisamment grande relativement à G, on disposait depuis 2001 d’une construction fort générale de représentations supercuspidales, décrite par J-K. Yu sur la base de nombreux travaux antérieurs. Mais les avancées récentes ont rendu le tableau beaucoup plus complet et beaucoup plus clair. Par exemple, les travaux de J. Fintzen, T. Kaletha et L. Spice fournissent (dans le cas modéré) une classification des représentations supercuspidales, une formule explicite pour « presque tous » leurs caractères, ainsi qu’une correspondance de Langlands explicite pour les paquets entièrement supercuspidaux. Bien que les constructions s’appuient de façon cruciale sur les représentations de groupes finis et la géométrie des immeubles, les formules de caractère et la description des paquets de Langlands présentent des parallèles saisissants avec le cas des groupes réels.

The Shafarevich conjecture predicts the holomorphic convexity of complex projective varieties. It results in the existence of the Shafarevich morphism. In the last three decades, this conjecture has been extensively studied when considering cases where fundamental groups are subgroups of complex general linear groups. In this talk I will discuss some recent work on the construction of Shafarevich morphism for any linear representation $\rho:\pi_1(X)\to GL_N(K)$ where $X$ is any complex quasi-projective variety and $K$ is any field of positive characteristic. I will also explain the proof of the generalized Green-Griffiths-Lang conjecture for $X$ when $\rho$ is a big representation. This talk is based on a joint work with Yamanoi.

Géométries de Hilbert et Funk, les mondes engloutis des convexes

Le model de Klein ou projectif de la géométrie hyperbolique se définit à l’aide de la convexité de la boule euclidienne et le birapport. Hilbert fera remarquer à Klein que sa construction permet de définir de nouvelles géométries à l’intérieur de n’importe quel convexe.
Elle est fortement lié à une autre géométrie de nature affine, dite de Funk. Je me propose de vous faire une introduction à ces géométries et vous mener jusqu’à quelques résultats récents obtenus avec Faifman et Walsh qui relient la croissance volumique de ces géométries aux conjectures de Mahler et Kalaï.

titre: geometrisation de la representation de Weil.

resumé: On va presenter la geometrisation de la representation de Weil
du groupe metaplectique sur un corps fini. Si le temps le permet, on
discutera aussi le cas de la representation de Weil du groupe
metaplectique sur un corps local non-archimédien et les applications
pour le programme de Langlands geometrique.

Dans cet exposé on s’intéressera aux surfaces de demi-translation et plus particulièrement aux surfaces à petits carreaux de demi-translation. Après avoir rappelé quelques résultats sur la répartition de ces surfaces dans les espaces de modules de surfaces plates, j’exposerai des résultats récents et des conjectures sur la géométrie et la combinatoire de ces surfaces en grand genre.

Dans le cas générique (strates principales des espaces de modules), ces résultats sont dus à un travail en collaboration avec V. Delecroix, P.Zograf and A. Zorich, et s’interprètent également en terme de mutlicourbes fermées sur les surfaces. J’expliquerai également ce que l’on sait faire dans le cas des strates impaires et les conjectures correspondantes (travail en commun avec E. Duryev et I. Yakovlev).

titre : *Action du groupe de Weyl sur l’espace des vecteurs MA-invariants*

résumé : Soit G un groupe de Lie réel semisimple, A son
« sous-espace de Cartan » ou « tore déployé maximal » (sous-algèbre
abélienne diagonalisable sur les réels maximale). On peut alors
définir son groupe de Weyl restreint W, comme le quotient du
normalisateur de A par son centralisateur. (Je donnerai des
exemples concrets).

Considérons maintenant une représentation irréductible de dimension
finie rho de ce groupe (agissant sur un espace V). Alors W a une
action bien définie sur le sous-espace V^L formé par les vecteurs de
V fixés par le normalisateur de A, appelé MA ou L.
Dans le groupe de Weyl (restreint), un rôle spécial est joué par le « mot
le plus long » w_0, qui envoie les racines (restreintes) positives sur
les racines (restreintes) négatives. Nous nous posons la question
suivante : dans quels cas ce w_0 a-t-il une action non triviale sur
V^L ? (Cette question est motivée par une certaine question en
dynamique des groupes de transformations affines.)

Cette question se décompose naturellement en deux parties : quelles sont
les représentations pour lesquelles, déjà, V^L est non trivial ? et
puis, parmi celles-ci, quelles sont celles où, en plus, w_0 agit
non-trivialement sur V^L ? Dans le cas particulier où G est déployé,
la première question est très facile, et nous avons trouvé la réponse à
la deuxième, qui est : « presque toutes ». Dans le cas général, j’ai
récemment obtenu la réponse à la première question, et pour la deuxième
question je dispose d’une conjecture. Je vais présenter tous ces travaux.

Titre : Induites paraboliques du groupe p-adique G_2 distinguées par SO_4

Résumé : Après une brève introduction pour motiver l’étude des représentations distinguées, j’expliquerai comment la théorie de Mackey pour les groupes p-adiques nous permet d’identifier ce type de représentations et les spécificités du cas de l’étude du groupe exceptionnel G_2. Je présenterai une première description de certaines des représentations distinguées pour la paire (G_2, SO_4), et une nouvelle approche en cours pour obtenir une classification plus complète de ces représentations où la structure des octonions joue un rôle central.

Hyperbolicité en présence d’un grand système local

Serge Lang a proposé plusieurs conjectures influentes reliant différentes notions d’hyperbolicité pour les variétés algébriques complexes projectives. Par exemple, il a conjecturé que le lieu balayé par les courbes entières coïncide avec le lieu balayé par les sous-variétés qui ne sont pas de type général, du moins après avoir pris les fermetures de Zariski. J’expliquerai que certaines de ces conjectures (dont celle ci-dessus) sont vraies pour les variétés qui admettent un grand système local complexe au sens de Campana et Kollár (par exemple toute variété qui possède une variation de structures de Hodge mixtes dont l’application des périodes est finie).

Soit X une variété complexe proiective de dimension trois avec
bonnes singularités. Miyaoka a montré dans les années 1980 que si le
fibré canonique K_X est nef, alors un certain multiple de K_X est
effectif. Ceci est le théorème classique de non-annulation pour les
variétés minimales de dimension trois.
Dans cet exposé nous expliquerons des résultats analogues pour le fibré
anticanonique -K_X, ce qui correspondent au problème de non-annulation
pour les variétés à courbure semi-positive. Plus précisément, nous
montrerons que si -K_X est nef, alors la classe numérique de -K_X est
effective.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec Vladimir Lazić, Shin-ichi
Matsumura, Thomas Peternell and Nikolaos Tsakanikas.

L’espace des métriques kähleriennes.

Un problème classique en géométrie kählerienne est de trouver des métriques kähleriennes spéciales, cet à dire avec des bonnes propriétés de courbure. En relation avec ce problème, l’étude de l’espace des métriques kähleriennes, que l’on denote H, devient cruciale.

Cet espace à été étudié à partir des année 80 quand Mabuchi a introduit un produit scalaire sur chaque espace tangent. À partir de cela, une famille de distances d_p, p>=1, on été définie sur H en démontrant que (H, d_p) est une espace métriques mais pas complet.
Dans la première partie cette exposé on donnera un panorama de tout ce que on sait sur cet espace. Puis parlera plus en détail de ses géodésiques, son complété métrique et des distances d_p.
Les résultats présentés dans cette exposé sont basés sur des deux travaux, un en collaboration avec Vincent Guedj et l’autre en collaboration avec Chinh Lu.