Bogomolov and Mumford proved that every projective K3 surface contains a rational curve. Since then, a lot of progress has been made by Bogomolov, Chen, Hassett, Li, Liedtke, Tschinkel and others, towards the stronger statement that any such surface in fact contains infinitely many rational curves. In this talk I will present joint work with Xi Chen and Christian Liedtke completing the remaining cases of this conjecture in characteristic zero, reproving some of the main previously known cases more conceptually and extending the result to arbitrary genus.

On va décrire géométriquement l’espace des modules des fibrés stables avec $c_2=0$, $det=mathcalK$ sur une surface de la classe VII avec $b_2=3$.
On va regarder en détail le cas d’une surface connue (minimale ou non-minimale), et aussi celui d’une surface inconnue. En utilisant cette description on obtient l’existence d’un cycle dans le cas $b_2=3$. Finalement on va expliquer quelques propriétés générales et quelques conjectures concernant le même espace de modules sur une surface de la classe VII avec $b_2$ arbitraire.

On commence par rappeler la définition des variétés de drapeaux d’un fibré vectoriel, ainsi que les fibrés en droite naturels qui leur sont associés, dont les puissances de Schur du (dual) du fibré vectoriel constituent les sections.

Dans ce cadre, on présente une généralisation naturelle du point de vue de Hartshorne sur l’amplitude des fibrés vectoriels, qui permet d’attaquer l’étude des objets décrits dans le titre.

On détaille alors le schéma de preuve, issu du papier de Brotbek–Darondeau sur la même question dans le cas du cotangent, qui permet d’obtenir des résultats sur l’amplitude des puissances de Schur du cotangent d’intersections complètes.

Si le temps le permet, on parlera de certaines propriétés en hyperbolicité satisfaites par de telles variétés.

Dans un travail en commun avec K. Cesnavicius concernant les groupes de lacets et la fibration de Hitchin, nous avons été amené à  étudier le quotient adjoint sur des bases arbitraires. Un résultat récent de Chaput et Romagny montrait un théorème de Chevalley pour des groupes simples déployés sur un schéma S, mais laissait le problème ouvert dans le cas général. On généralise leur énoncé en même temps que l’on apporte une preuve différente de leur énoncé.

Dans cet exposé, je vais présenter les lieux de dégénérescence orbitaux.
Ces lieux généralisent les lieux de dégénérescence classiques; étant
donnés des fibrés principaux (ou fibrés vectoriels avec une certaine
structure), ils permettent de construire des variétés projectives
« spéciales ».
Deux outils majeurs permettent de controler les propriétés intrinsèques
des variétés construites (e.g. la positivité du fibré canonique):
l’existence de désingularisations explicites de ces lieux et l’existence
de résolutions localement libres de leurs idéaux. Selon le temps
disponible, je vais présenter ces outils à  l’aide d’exemples concrets et
significatifs.
Il s’agit d’un projet en commun avec Sara Angela Filippini, Laurent
Manivel et Fabio Tanturri.

Let $s_1,dots,s_k$ be the elementary symmetric functions of the complex variables $x_1,dots,x_k$.
We say that $FinC[s_1,dots,s_k]$ is a {trace function} if their exists $finC[z]$ such that
$F(s_1,dots,s_k]=su{m}_{j=1}^{k}f(x_j)$ for all $sin{C}^k$.
We give an explicit finite family of second order differential operators in the Weyl algebra
$W_2:=C[s_1,dots,s_k]langlefracpartialpartial{s}_1,dots,fracpartialpartial{s}_{k}rangle$
which generates the left ideal in $W_2$ of partial differential operators killing all trace functions.
The proof uses a theorem for symmetric differential operators analogous
to the usual symmetric functions theorem and the corresponding map for symbols. As a corollary, we obtain for each integer $k$
a regular holonomic system which is a quotient of $W_2$ by an explicit left ideal whose local solutions are given by linear
combinations of the branches of the multivalued root of the universal equation of degree $k$:
$z^k+su{m}_{h=1}^k(-1{)}^h.s_h.z^{k-h}=0$.

Soit Y une hypersurface lisse dans une variété hyper-kählérienne irréductible projective X de dimension 2n et $sigma$ une forme holomorphiquement symplectique sur X. Le feuilletage caractéristique F sur une hypersurface Y est le noyau de la forme symplectique $sigma$ restreinte à  Y. Supposons qu’il existe une fibration lagrangienne $pi:Xtomathbb{P}^n$ et $Y=p{i}^{-1}D$ pour une hypersurface $D$ dans $mathbb{P}^n$. Je montre que une feuille générale de $F$ est Zariski dense dans une fibre de $pi$.

In 2008 Campana conjectured that a smooth projective family of canonically polarized manifolds over a special manifold (being opposed to general type manifolds) is isotrivial, i.e. any two fibers are isomorphic. This conjecture was proven by Taji in 2016. In this talk I will present a hyperbolic version of Campana’s isotriviality conjecture: a smooth family of canonically polarized or polarized Calabi-Yau manifolds over a hyperbolically special complex manifold (i.e. its Kobayashi pseudo distance vanishes identically) is necessarily isotrivial. This result is indeed inspired by another conjecture of Campana: a complex manifold is special if and only if it is hyperbolically special, and thus provides some (indirect) evidence to this conjecture.

Étant donnée une famille de surfaces K3 polarisées au dessus d’une base de dimension 1, que peut-on dire du lieu o๠le nombre de Picard est strictement plus grand que le nombre de Picard générique ? Quand la base est une courbe complexe quasi-projective et que la famille est non-isotriviale, une première réponse à  cette question est donnée par Green-Oguiso qui montrent que cet ensemble, dit lieu de Noehter-Lefschetz, est dense pour la topologie analytique. Quand la base est le spectre d’anneau d’entiers d’un corps de nombres, la situation est moins connue. Dans cet exposé, je parlerai de résultats récents dans les deux directions: le premier affirme l’equidistribution du lieu de Noether-Lefschetz dans le cas complexe par rapport à  une mesure naturelle sur la base. Ensuite, je montrerai dans le contexte arithmétique que l’ensemble des places du corps de nombre en question o๠le nombre de Picard saute est infini. Ce dernier résultat est en commun avec Ananth Shankar, Arul Shankar et Yunqing Tang.

As is well known, Hodge Theory for projective manifolds has a number of topological consequences, particularly through the Hard-Lefschetz Theorem and the Hodge-Riemann bilinear relations. Classically this theory involves a positive cohomology class, for instance the first Chern class of an ample line bundle. In this talk I will discuss an extension of this package of ideas to Schur classes of ample vector bundles. I will also discuss various consequences, including a higher-rank version of the famous Khovanskii-Teissier inequalities and some applications to algebraic combinatorics. This work is joint with Matei Toma.

If L is a line bundle on a projective manifold, then the existence of effective bounds for its tensor powers to have global sections or become globally generated have been a central problem in algebaic geometry for the last 150 years. While the case of curves follows from Riemann-Roch, satsifactory answers for surfaces only arrived about thirty years ago. Research in the area has been mostly motivated by Fujita’s conjectures predicting the global generation and very ampleness of certain adjoint line bundles. In this talk we will consider the case of effective global generation for projective manifolds with numerically trivial canonical bundle. This is an account of joint work with Yusuf Mustopa.

Il s’agit d’un travail en commun avec S. Diverio et H. Guenancia. Un
résultat récent de Boucksom et Diverio montre que toutes les
sous-variétés d’un quotient lisse et compact d’un domaine borné sont de
type général. J’expliquerai comment généraliser ce type de propriété
d’hyperbolicité algébrique au cas des quotients non compacts de ces
domaines bornés ; cela permettra d’étendre au cas non symétrique un
critère d’hyperbolicité complexe établi dans un précédent travail en
collaboration avec E. Rousseau et B. Taji.

Soit G un groupe algébrique semi-simple sur un corps k algébriquement clos de caractéristique positive et soit B un sous-groupe de Borel. La cohomologie des fibrés en droites G-équivariants sur G/B induits par des
caractères de B sont des objets importants dans la théorie des représentations de G. Dans cet exposé, je vais commencer par rappeler des résultats à  leur sujet, dus à  Kempf, Griffith, Andersen, Jantzen, Kuhne-Hausmann, Irving, Doty, Sullivan, Donkin, etc.. Ensuite, je vais présenter les nouveaux résultats pour G=SL_3 obtenus dans ma thèse. Plus précisément, j’ai montré l’existence de deux filtrations de H^i(G/B,mu). La première existe pour i=1,2 et mu dans la région de Griffith.
La deuxième, qui généralise la p-filtration introduite par Jantzen, existe pour tout i et mu.

The Chow-Mumford (CM) line bundle is a functorial line bundle on the base of any family of polarized varieties, in particular on the base of families of Q-Fano varieties (that is, Fano varieties with klt singularities). It is conjectured that the CM line bundle yields a polarization on the conjectured moduli space of K-polystable Q-Fano varieties (which over the complex numbers are conjectured to be exactly the Fanos admitting a singular Kähler-Einstein metric). The above polarization conjecture boils down to showing semi-positivity and positivity statements about the CM-line bundle for families with K-semi-stable and K-polystable Q-Fano fibers, respectively. I present a joint work with Giulio Codogni where we prove the necessary semi-positivity statements in the K-semi-stable situation, and the necessary positivity statements in the uniform K-stable situation, including in both cases variants assuming K-stability only for very general fibers. Our statements work in the most general singular situation (klt singularities), and the proofs are algebraic, except the computation of the limit of a sequence of real numbers via the central limit theorem of probability theory.

We prove that the integral Hodge conjecture holds for 1-cycles on irreducible holomorphic symplectic varieties of K3 type and of Generalized Kummer type. As an application, we give a new proof of the integral Hodge conjecture for cubic fourfolds.

Grâce à  Borcea, Dolgachev, Nikulin et Voisin il existe une version enrichie de la symétrie miroir qui s’applique aux surfaces K3, cas dans lequel l’énoncé ordinaire est trivial. Nous la traitons comme le point de départ d’un énoncé qui s’applique en dimension quelconque. Pour énoncer le théorème principal on revisitera l’énoncé de la correspondance de McKay qui relie une singularité et sa résolution. C’est un travail en collaboration avec Kalashnikov et Veniani.

Ceci est un travail en commun avec Ya Deng. Étant donnée une paire (X,D) composée d’une variété complexe projective lisse X et d’un diviseur à  croisements normaux simples D, la positivité du fibré cotangent logarithmique de (X,D) a de fortes implications sur les propriétés géométriques du complémentaire de D dans X, notamment sur ses propriétés d’hyperbolicité. Dès que X est de dimension plus grande que deux et que D est non-vide, le fibré cotangent logarithmique de (X,D) ne peut pas être ample. Dans cet exposé nous donnerons une description des obstructions à  l’amplitude et exhiberons des exemples o๠le cotangent logarithmic est « aussi ample que possible ».

Il s’agit d’un travail en collaboration avec O.Debarre, K.O’Grady et C.Voisin. Debarre et Voisin ont construit une famille de variétés projectives hyperkählériennes de dimension 4 associées aux trivecteurs sur un espace vectoriel complexe de dimension 10. Ces variétés sont des déformations de schémas de Hilbert paramétrant les schémas de longueur 2 d’une surface K3. Nous étudions ici le problème de réaliser de tels schémas de Hilbert comme variétés de Debarre-Voisin avec un intéret particulier pour les surfaces K3 polarisées de petit degré.

En 1974, Igor Shafarevich demande si les revêtements universels des variétés projectives sont toujours des variétés holomorphiquement convexes. Une réponse positive est donnée par Philippe Eyssidieux en 2004, dans le cas o๠le groupe fondamental de la variété admet une représentation linéaire fidèle. L’ingrédient principal de sa preuve est la théorie de Hodge non-abélienne qui établit une correspondance entre représentations du groupe fondamental et fibrés de Higgs sur la variété.
Depuis mes travaux de thèse, on dispose d’applications de périodes généralisées pour comprendre différemment cette correspondance. J’expliquerai ce que sont ces applications et comment on les utilise – dans un travail en cours avec Yohan Brunebarbe – pour étendre la preuve d’Eyssidieux à  des variétés quasi-projectives.

Étant donnée une surface $X$, plusieurs programmes mathématiques plus ou moins récents et souvent inspirés par la physique se penchent sur les espaces dits « de modules » $M$ paramétrisant les fibrés vectoriels à  isomorphisme près. Une approche standard est d’exploiter la structure symplectique du cotangent $T^{\ast }M$ de tels espaces et d’en tirer des propriétés intéressantes. C’est dans ce cadre qu’Hitchin a le premier défini les fibrés dits de Higgs. Dans cet exposé j’approcherai ces problématiques par l’étude de ce qui peut-être vu comme un analogue discret du précédent problème: les représentations de carquois. Dans un premier temps j’expliquerai une formule précise illustrant cette analogie, basée sur des travaux de Schiffmann puis Mellit, et motivée par des conjectures établies par Hausel, Letellier et Rodriguez Villegas. Cette formule donne le nombre de composantes d’une sous-variété Lagrangienne de $T^{\ast }M$, qui peut être comprise comme un analogue du cône nilpotent en théorie de Lie. Dans un second temps je donnerai une description combinatoire de ces composantes.