Je vais expliquer un travail en commun récent avec Olivier Biquard où l’on analyse deux situations où l’on fait dégénérer des métrique coniques de Kähler-Einstein en faisant tendre l’angle de cône vers 0 pour obtenir une métrique Kähler-Einstein complète.

En courbure positive, on retrouve la métrique de Tian-Yau sur le complémentaire d’un diviseur anticanonique dans variété de Fano, et en courbure négative, on retrouve la métrique de Bergman sur un quotient de domaine symétrique borné.

Les algèbres amassées sont des anneaux commutatifs intègres avec une structure combinatoire particulière.
Cette structure consiste en la donnée d’une famille de graines, liées entre elles par une opération appelée mutation. Chaque graine est composée de deux parties : un amas et un carquois. Les variétés de Richardson ouvertes sont des strates de la variété de drapeaux associée à un groupe linéaire algébrique de type simplement lacé. Elles sont l’intersection de cellules de Schubert respectivement à deux sous-groupes de Borel opposés. Dans [Lec16], une sous-algèbre amassée de rang maximal sur l’anneau de coordonnées d’une variété de Richardson ouverte a été construite et cette sous-algèbre est conjecturée être égale à l’anneau entier. La construction de cette algèbre amassée provient d’une catégorie de Frobenius C_{v,w} de modules sur l’algèbre préprojective, définie comme intersection de deux catégories C_w et C_v déjà étudiées par Geiss, Leclerc, Schröer et Buan, Iyama, Reiten et Scott. Le lien entre les algèbres amassées et les structures amassées est donné par le caractère d’amas défini dans [GLS06].

Dans cet exposé, après un rappel du contexte, je construis un algorithme qui, étant donné les paramètres définissant une variété de Richardson ouverte, construit un module rigide maximal explicite de la catégorie de Frobenius associée et son carquois. Cet algorithme a pour donnée de départ la graine initiale pour la structure amassée sur C_w définie par un représentant w d’un élément w du groupe de Weyl. Par le biais d’une suite de mutations déterminée combinatoirement, on obtient à partir de la graine initiale un module rigide maximal de Cw qui, à suppression de certains facteurs directs près, est un module rigide maximal de Cv,w. De plus le sous-carquois du carquois muté est exactement le carquois de l’algèbre d’endomorphisme du module rigide maximal de Cv,w donnant alors la description complète d’une graine initiale pour la structure amassée de Cv,w.

The minimal model program has proven to be a powerful way to study the geometry of varieties, and recent years have shown that the insights of the minimal model program can be applied to the study of foliations.  I will explain some recent work on the existence of minimal models for foliations, especially in the case

Au cœur du programme de Langlands se trouve l’étude des représentations des groupes $p$-adiques. Un objet particulièrement intéressant pour étudier ces dernières est l’immeuble de Bruhat-Tits. Dans cet exposé, nous étudierons le lien qui existe entre les représentations d’un groupe $p$-adique et les cofaisceaux sur l’immeuble de Bruhat-Tits. En particulier, les méthodes mise en place sont valable pour les représentations $\ell$-modulaires. Nous verrons également, comment obtenir des décompositions de la catégorie des représentations $\ell$-modulaires d’un groupe $p$-adique à l’aide de systèmes d’idempotents associés à l’immeuble de Bruhat-Tits.

Dans cet exposé je présente certaines méthodes développées au cours de ma thèse. Le problème est le suivant : soient $k$ un corps (algébriquement clos) et $G$ un $k$-groupe réductif. Notons $\mathfrak{g}$ son algèbre de Lie. Si $k$ est de caractéristique nulle, l’existence de l’exponentielle permet d’intégrer toute sous-algèbre de Lie nilpotente $\mathfrak{u}\subseteq\mathfrak{g}$ en un sous-groupe unipotent lisse et connexe U⊆G tel que $Lie(U)$= $\mathfrak{u}$. Si maintenant $k$ est de caractéristique $p >0$ l’exponentielle d’éléments nilpotents de $\mathfrak{g}$ n’est plus toujours bien définie et il n’est plus a priori possible d’intégrer une sous-algèbre de Lie nilpotente arbitraire de $\mathfrak{g}$.Nous nous intéresserons ici à l’intégration des $p$-sous-algèbres restreintes $p$-nil de $\mathfrak{g}$ (à savoir les bons analogues en caractéristique $p>0$ des sous-algèbres de Lie nilpotentes de $\mathfrak{g}$). Après avoir présenté les travaux de J-P. Serre et ceux, plus récents, de P. Deligne, V. Balaji et A. J.Parameswaran qui assurent une intégration systématique de tels objets pour une borne “raisonnable » sur $\mathfrak{p}$, nous discuterons le cas plus complexe des petites caractéristiques. J’expliquerai notamment comment ma généralisation d’un théorème de P. Deligne permet l’intégration decertaines sous-algèbres de Lie $p$-nil (maximales pour un certain critère) de $\mathfrak{g}$.

En utilisant la torsion analytique, Bershadsky, Cecotti, Ooguri et Vafa ont défini un invariant à valeurs réelles, appelé l’invariant de BCOV, pour les variétés de Calabi-Yau. L’invariant de BCOV est conjecturalement le miroir dans le B-modèle de l’invariant de Gromov-Witten de genre 1. Après une introduction à cet invariant, je vais présenter la démonstration récente de la conjecture de Fang-Lu-Yoshikawa, qui dit que deux variétés de Calabi-Yau birationnellement isomorphes ont le même invariant de BCOV. Si le temps le permet, j’expliquerai une généralisation de la définition des invariants de BCOV pour les variétés de Calabi-Yau singulières, ainsi que son invariance birationnelle.  Il s’agit d’un travail commun avec Yeping Zhang (arXiv: 2007.04835).

Dans un espace projectif complexe, le nombre des points (sans compter la multiplicité) de l’intersection d’une courbe algébrique et d’une hypersurface générique est le produit de leur degré. J’explique comment obtenir un énoncé analogue pour des courbes holomorphes entières.

Je donnerai une présentation détaillée des revêtements doubles des espaces projectifs, et en particulier des systèmes
linéaires $|kL|$ obtenus en tirant-en-arrière la classe d’équivalence linéaire des hypersurfaces de degré $k$ de l’espace projectif. J’examinerai avec une attention particulière les doubles plans sextiques, qui sont des surfaces K3 de genre 2, dans le but de décrire les extensions des courbes canoniques obtenues par le système $|kL|$. On rappelle qu’une extension de X plongée dans $P^N$ est $Y$ dans $P^{N+1}$ qui a $X$ comme section hyperplane.

Quels groupes algébriques agissent de façon birationnelle sur le plan projectif ? Après avoir regarder quelques exemples sur des corps divers, je vais expliquer comment attaquer la classification et la donner pour les groupes infinis.

Dans cet exposé, je présenterai une solution définitive au problème de décrire les classes de conjugaison d’un groupe de Coxeter arbitraire en termes de permutations cycliques. Après avoir motivé le problème et passé en revue son histoire, j’expliquerai l’idée-clef, de nature géométrique, derrière la preuve de sa solution.

In 1988 Simpson proved a uniformization theorem which characterizes complex projective manifolds and quasi-projective curves whose universal coverings are complex unit balls. In this talk, I will give a necessary and sufficient condition for quasi-projective manifolds to be uniformized by complex unit balls, via stability of (logarithmic) Higgs bundles. This is based on a joint work with Benoit Cadorel.

Dans cet exposé nous montrerons, en suivant l’article de Greb-Guenancia-Kebekus, qu’une variété projective klt à  fibré canonique numériquement trivial et dont le fibré tangent est fortement stable est, à  revêtement quasi étale près, soit une variété de CY soit une variété de Calabi-Yau soit une variété irréductible symplectique.

https://bul.univ-lorraine.fr/index.php/s/WDWrwG4sMHcHoso

Les variétés singulières à  canonique numériquement trivial ont
reçu un intérêt récent, notamment dans des travaux de Greb, Guénancia,
Kebekus, Druel, Höring, Peternell, Campana… qui aboutissent à  un
théorème de décomposition « à  la Beauville-Bogomolov » dans le cadre
singulier assez large (klt). Ces travaux participent également à 
comprendre la structure du faisceau tangent d’une variété singulière à 
canonique numériquement trivial; pour des variétés relativement peu
singulières (klt lisses en codimension 2, par exemple terminales),
Höring et Peternell établissent un lien entre la positivité
(pseudoeffectivité) du faisceau tangent à  une variété et la présence
d’une facteur abélien dans sa décomposition de Beauville-Bogomolov
singulière.

Dans cet exposé, je discuterai des outils permettant de traiter la
positivité d’un faisceau réflexif sur une variété à  singularités klt,
comme la seconde classe de Chern orbifold : c’est un bon cadre pour le
faisceau tangent d’une variété à  singularités klt. J’expliquerai comment
utiliser ces outils pour généraliser l’énoncé de Höring et Peternell à 
des variétés à  singularités klt, et en présenterai quelques autres
utilités.

Un résultat d’Arapura et Archava montre qu’un produit symétrique d’une variété X de type général est aussi de type général, dès que X est de dimension au moins 2 ; il s’agit essentiellement de montrer que les singularités de ce produit sont canoniques. Ce résultat mène naturellement à  un certain nombre de questions : si X est hyperbolique, les produits symétriques le sont-ils aussi ? à  l’inverse, la propriété « spéciale » de F. Campana est-elle invariante par produit symétrique ?

Ces questions forment en général un problème plus difficile qu’il n’y parait ; on verra que sans des hypothèses supplémentaires sur la variété X, les réponses sont en général négatives. Cependant, sous certaines hypothèses de positivité naturelles sur X, on peut obtenir des contraintes fortes sur les courbes entières tracées sur les produits symétriques. Ceci permet notamment de construire de nombreux exemples de produits symétriques hyperboliques, en choisissant un X adéquat (par exemple une hypersurface ou intersection complète de haut degré, un quotient de domaine symétrique borné…)

Il s’agit d’un travail en commun avec F. Campana et E. Rousseau.

soit G un groupe réductif déployé sur un corps K muni d’une
valuation à  valeurs dans R. Dans les années 70, Bruhat et Tits ont
construit un espace appelé « immeuble » sur lequel G agit. On peut alors
étudier G via son action sur l’immeuble.

Je parlerai d’une généralisation de cette construction que nous avons
obtenue avec Diego Izquierdo et Benoit Loisel dans le cas o๠la
valuation est à  valeur dans un groupe abélien totalement ordonné Lambda
quelconque.

C’est un travail commun avec Erwan Rousseau (arXiv:2006.13515). Nous explorons la positivité des fibrés cotangents logarithmiques et orbifoldes le long d’arrangements d’hyperplans dans l’espace projectif. Nous montrons qu’un exemple très intéressant de Noguchi (1986) peux être généralisé très largement. Les ingrédients clés de notre approche sont l’utilisation de recouvrements de Fermat et la production de différentielles symétriques explicites, dans le cadre orbifolde de Campana. Ceci nous permet d’obtenir des nouveaux résultats dans la lignée de plusieurs résultats classiques concernant les arrangements d’hyperplans.