Title: Rigid currents and birational geometry

Abstract: Rigid currents are closed positive currents whose cohomology class contains only one closed positive current. This notion originates (probably) from complex dynamics and has sporadically occured in different contexts. I will survey some of these, and then show how rigid currents occur when one studies the Abundance conjecture in birational geometry. This is joint work with Zhixin Xie.

Une variété complexe est dite hyperbolique (au sens de Brody) si elle ne contient pas de courbe entière (non constante). Soit (X,D) est une paire logarithmique lisse, avec X une variété projective lisse et D un diviseur à croisements normaux. Le fibré cotangent logarithmique associé ne peut jamais être ample (on a un quotient trivial en restriction à chaque composante de D). On peut cependant montrer que si ce fibré est « le plus ample possible » (on dira qu’il est ample modulo D), alors le complémentaire X\D est hyperbolique. Plus généralement, on peut étudier la position des courbes entières via la positivité du cotangent logarithmique.

Dans cet exposé, on considérera le cas où D est un arrangement d’hyperplans en position générale dans Pⁿ. On montrera une condition géométrique sur la position des hyperplans pour que le cotangent logarithmique soit ample modulo D, en construisant explicitement des droites d’obstruction. En particulier, on verra que pour au moins 4n-2 hyperplans génériques, le cotangent logarithmique est ample modulo D.

Titre : Ordre de Bruhat affine et théorie de Kazhdan-Lusztig

La structure d’un groupe réductif (ou plus généralement de Kac-Moody) est largement controlée par son groupe de Weyl. En particulier, si G est un groupe de Kac-Moody et B un sous-groupe de Borel, la théorie de Kazhdan-Lusztig relie étroitement la géométrie de la variété de drapeaux G/B avec la structure de Coxeter de W.
Si l’on étudie G au dessus d’un corps discrètement valué, comme les corps p-adiques, on peut remplacer B par le groupe d’Iwahori I pour prendre en compte l’existence d’une valuation. Le groupe de Weyl doit être remplacé par une affinisation W^+. Lorsque G est un groupe réductif, W^+ est encore un groupe de Coxeter ce qui permet d’étendre la théorie de Kazhdan-Lusztig à la variété de drapeaux affines G/I. Ce n’est plus vrai si G est un groupe de Kac-Moody général, en particulier il n’y a pas d’ordre de Bruhat naturel sur W^+. Néanmoins en 2018, D. Muthiah et D. Orr ont pu définir une relation d’ordre et une longueur associée sur W^+ analogue aux ordres de Bruhat. Dans cet exposé, je présenterais plusieurs propriétés de cet ordre que nous avons obtenues avec Auguste Hébert et, si le temps le permet, j’expliquerais leur importance pour la construction d’une théorie de Kazhdan-Lusztig adaptée à ce cadre.

Cet exposé devrait être similaire au séminaire qui sera donné le 18 novembre au séminaire Bourbaki par Alexandre Afgoustidis.

Titre : Progrès récents sur les représentations supercuspidales

Résumé : Soit G un groupe réductif sur un corps local non-archimédien F. Pour les questions de classification des représentations lisses irréductibles de G, l’étude des représentations supercuspidales – celles dont les coefficients matriciels sont à support compact modulo le centre – est en quelque sorte le noyau dur. Les progrès dans cette étude ont été continus depuis cinquante ans. Dans des cas « modérés » où la caractéristique résiduelle de F est suffisamment grande relativement à G, on disposait depuis 2001 d’une construction fort générale de représentations supercuspidales, décrite par J-K. Yu sur la base de nombreux travaux antérieurs. Mais les avancées récentes ont rendu le tableau beaucoup plus complet et beaucoup plus clair. Par exemple, les travaux de J. Fintzen, T. Kaletha et L. Spice fournissent (dans le cas modéré) une classification des représentations supercuspidales, une formule explicite pour « presque tous » leurs caractères, ainsi qu’une correspondance de Langlands explicite pour les paquets entièrement supercuspidaux. Bien que les constructions s’appuient de façon cruciale sur les représentations de groupes finis et la géométrie des immeubles, les formules de caractère et la description des paquets de Langlands présentent des parallèles saisissants avec le cas des groupes réels.

The Shafarevich conjecture predicts the holomorphic convexity of complex projective varieties. It results in the existence of the Shafarevich morphism. In the last three decades, this conjecture has been extensively studied when considering cases where fundamental groups are subgroups of complex general linear groups. In this talk I will discuss some recent work on the construction of Shafarevich morphism for any linear representation $\rho:\pi_1(X)\to GL_N(K)$ where $X$ is any complex quasi-projective variety and $K$ is any field of positive characteristic. I will also explain the proof of the generalized Green-Griffiths-Lang conjecture for $X$ when $\rho$ is a big representation. This talk is based on a joint work with Yamanoi.

Géométries de Hilbert et Funk, les mondes engloutis des convexes

Le model de Klein ou projectif de la géométrie hyperbolique se définit à l’aide de la convexité de la boule euclidienne et le birapport. Hilbert fera remarquer à Klein que sa construction permet de définir de nouvelles géométries à l’intérieur de n’importe quel convexe.
Elle est fortement lié à une autre géométrie de nature affine, dite de Funk. Je me propose de vous faire une introduction à ces géométries et vous mener jusqu’à quelques résultats récents obtenus avec Faifman et Walsh qui relient la croissance volumique de ces géométries aux conjectures de Mahler et Kalaï.

titre: geometrisation de la representation de Weil.

resumé: On va presenter la geometrisation de la representation de Weil
du groupe metaplectique sur un corps fini. Si le temps le permet, on
discutera aussi le cas de la representation de Weil du groupe
metaplectique sur un corps local non-archimédien et les applications
pour le programme de Langlands geometrique.

Dans cet exposé on s’intéressera aux surfaces de demi-translation et plus particulièrement aux surfaces à petits carreaux de demi-translation. Après avoir rappelé quelques résultats sur la répartition de ces surfaces dans les espaces de modules de surfaces plates, j’exposerai des résultats récents et des conjectures sur la géométrie et la combinatoire de ces surfaces en grand genre.

Dans le cas générique (strates principales des espaces de modules), ces résultats sont dus à un travail en collaboration avec V. Delecroix, P.Zograf and A. Zorich, et s’interprètent également en terme de mutlicourbes fermées sur les surfaces. J’expliquerai également ce que l’on sait faire dans le cas des strates impaires et les conjectures correspondantes (travail en commun avec E. Duryev et I. Yakovlev).

titre : *Action du groupe de Weyl sur l’espace des vecteurs MA-invariants*

résumé : Soit G un groupe de Lie réel semisimple, A son
« sous-espace de Cartan » ou « tore déployé maximal » (sous-algèbre
abélienne diagonalisable sur les réels maximale). On peut alors
définir son groupe de Weyl restreint W, comme le quotient du
normalisateur de A par son centralisateur. (Je donnerai des
exemples concrets).

Considérons maintenant une représentation irréductible de dimension
finie rho de ce groupe (agissant sur un espace V). Alors W a une
action bien définie sur le sous-espace V^L formé par les vecteurs de
V fixés par le normalisateur de A, appelé MA ou L.
Dans le groupe de Weyl (restreint), un rôle spécial est joué par le « mot
le plus long » w_0, qui envoie les racines (restreintes) positives sur
les racines (restreintes) négatives. Nous nous posons la question
suivante : dans quels cas ce w_0 a-t-il une action non triviale sur
V^L ? (Cette question est motivée par une certaine question en
dynamique des groupes de transformations affines.)

Cette question se décompose naturellement en deux parties : quelles sont
les représentations pour lesquelles, déjà, V^L est non trivial ? et
puis, parmi celles-ci, quelles sont celles où, en plus, w_0 agit
non-trivialement sur V^L ? Dans le cas particulier où G est déployé,
la première question est très facile, et nous avons trouvé la réponse à
la deuxième, qui est : « presque toutes ». Dans le cas général, j’ai
récemment obtenu la réponse à la première question, et pour la deuxième
question je dispose d’une conjecture. Je vais présenter tous ces travaux.