Le problème de Griffith est un problème où l’on minimise la mesure de surface d’un certain « ensemble de discontinuité libre » qui intervient dans un modèle de propagation de fissure en élasticité linéarisée. Il s’agit d’une variante vectorielle de la célèbre fonctionnelle de Mumford-Shah, correspondant au cas scalaire et pour laquelle la régularité des minimiseurs est bien connue depuis les années 90. L’analogue vectoriel (Griffith) est beaucoup plus difficile à appréhender en raison de problèmes techniques que l’on tentera d’expliquer. Cependant, certains résultats partiels de régularité C^1 qui ont été obtenus récemment en collaboration avec Jean-François Babadjian (Paris-Saclay) et Flaviana Iurlano (Sorbone Université) en dimension 2, puis généralisés en dimension supérieure en collaboration avec Camille Labourie (Erlangen-Nuremberg). Le but final de l’exposé sera de présenter ces résultats récents. Avant cela, dans une première partie, nous présenterons un panorama rapide de la théorie de régularité classique en partant du problème de Plateau, puis en faisant le lien avec ce qui est connu (ou encore ouvert) sur Mumford-Shah, pour enfin aboutir à Griffith dans une seconde partie de l’exposé.

Dans cet exposé on étudiera le feuilletages de codimension un sur certains espaces rationnels homogènes, et on se focalisera sur les espaces de modules de feuilletages en petit degré. L’exemple (historique) qui guidera l’exposé est celui de l’espace projectif: tous les feuilletages de degré minimale de l’espace projectif sont obtenus comme les fibres d’une application linéaire de P^n vers P^1. Ceci implique que l’espace de modules de tels feuilletages est isomorphe à une Grassmannienne. En utilisant des techniques équivariantes, on montrera qu’un résultat analogue est vrai pour une certaine classe de variétés homogènes dites Grassmanniennes cominuscules, qui inclut notamment les Grassmanniennes de droites et d’autres variétés plus exotiques (ou exceptionnelles). On mentionnera enfin certains indices que ces résultats peuvent être étendus au-délà des cas déjà mentionnés. Il s’agit d’un travail en commun avec Daniele Faenzi et Alan Muniz.

Le corps de Newton-Okounkov d’un diviseur gros D sur une varieté projective X est un convexe de R^n représentant le comportement asymptotique de l’ensemble des sections globales H^0(X,mD) quand m tend vers l’infini. Ainsi par exemple, le volume (dans R^n) du corps de Newton-Okounkov de D est n! fois le volume du diviseur D. Lehmann et Xiao ont défini des notions de volume pour les courbes duales de la notion de volume pour les diviseurs. En s’appuyant sur ce même papier, nous verrons qu’il est également possible de construire des corps de Newton-Okounkov pour les courbes de volume multiple du volume de la courbe initiale. Enfin, cette construction permet d’établir une nouvelle conjecture sur les corps de Newton-Okounkov.

Un plain d’homologie est une surface quasi-projective avec les mêmes groupes d’homologie que le plan affine complexe. Dans la première partie de l’exposé, on discutera certaines propriétés des plans d’homologie. Dans la deuxième partie, une nouvelle connexion avec les variétés lisses réelles de dimension quatre sera mentionée. Cette dernière partie est travail en commun avec Oğuz Şavk.

Dans cet exposé nous expliquons d’abord comment associer
des couples (surfaces de Riemann, différentielles méromorphes)
aux pavages d’une surface topologique donnée par des triangles ou des
carrés. Cela nous permettra de ramener le problème de déterminer
l’asymptotique du nombre de tels pavages à des calculs de volumes de
certains espaces de modules. Nous verrons enfin comment les outils de
la géométrie analytique et algébrique complexe, notamment la variation
de la structure de Hodge, nous permettent d’obtenir des valeurs
exactes de ces volumes dans certains cas.

D’après Faltings une courbe projective lisse de genre au moins 2 définie sur un corps de nombres K n’a qu’un nombre fini de points K-rationnels. Les courbes elliptiques peuvent avoir une infinité de tels points, ainsi que la droite projective ; par contre, elles en ont « beaucoup moins » que la droite projective. Dans un travail en commun avec Y. Brunebarbe, basé sur un résultat récent de Ellenberg-Lawrence-Venkatesh, nous démontrons un résultat analogue en dimension supérieure : les variétés projectives avec groupe fondamental grand (au sens de Kollár-Campana) ont “beaucoup moins » de points que les variétés de Fano.

Let A be an abelian variety and G be a finite group acting on
A. If G acts freely in codimension 1, then the quotient A/G has
numerically trivial canonical divisor. A natural question is then
whether A/G admits a crepant resolution: under the additional assumption
that G acts freely in codimension 2, such a crepant resolution X would
be remarkable Calabi-Yau manifold (as it would have a nef and big
divisor D such that c_2(X)\cdot D^{n-2} = 0). Classifying such
quotients, étale in codimension 2, that admit a simply-connected crepant
resolution, was implemented by Oguiso in dimension 3 in the 90ies. We
extend his results to dimension 4 and 5, and give partial results in
arbitrary dimension.

Espaces fibrés de Mori de dimension 4 et leur groupe d’automorphismes.

Dans cet exposé j’expliquerai la relation entre l’étude des espaces fibrés de Mori rationnels avec l’action d’un groupe et l’étude des sous-groupes maximaux connexes du groupe de Cremona.
Dans le cas d’un espace fibré de Mori f:X->B sur une courbe rationnelle B, je présenterai un résultat d’existence de fermés f-horizontaux invariants par l’action du groupe d’automorphismes de X ainsi que des exemples.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Jérémy Blanc.

Dans cet exposé j’introduirai une variété affine associée à un groupe de Weyl affine dont les points entiers sont en bijection avec les éléments du groupe. Par la suite, je donnerai certaines conséquences combinatoires en mettant l’accent sur le type A.

Un théorème de décomposition pour les variétés de Poisson holomorphes

Weinstein a montré que toute variété de Poisson holomorphe est localement le produit d’une variété symplectique et d’une variété de Poisson dont le rang est nul au point considéré. En particulier, toute variété de Poisson possède un feuilletage naturel dont les feuilles sont des variétés symplectiques. Dans un travail en collaboration avec Jorge Pereira, Brent Pym et Frédéric Touzet, nous montrons que si une variété de Poisson compacte kählérienne X a une feuille compacte L dont le groupe fondamental est fini alors, à un revêtement étale fini près, X est le produit du revêtement universel de L et d’une autre variété de Poisson.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/events/titre-a-venir-99/

In this talk we present the construction of some moduli spaces of semistable sheaves over a smooth projective variety (over the field of complex numbers). We will use a notion of stability for pure coherent sheaves, which lies in-between Gieseker- and slope-stability. This is defined with respect to the Hilbert polynomial of the sheaf, truncated up to a certain degree. We call it l-(semi)stability, where l marks the level of truncation.

Before we proceed with the construction, we give a restriction theorem for l-(semi)stability. This applies in particular to Gieseker-semistable sheaves and generalizes the well-known restriction theorems of Mehta and Ramanathan. With this ingredient in place, we construct moduli spaces of l-semistable sheaves in higher dimensions. Our construction is based on ideas of Le Potier and Jun Li. In the torsion-free case, we recover a result of Huybrecths-Lehn over surfaces and of Greb-Toma in higher dimensions.

Soit G un groupe algébrique complexe semi-simple, qui agit sur sont algèbre de Lie L(G) via l’action adjointe, et soit X l’adhérence d’une orbite nilpotente dans L(G). Dans cet exposé on va s’intéresser aux formes réelles de X, c’est-à-dire aux variétés algébriques réelles W munies d’une action d’un groupe algébrique réel F telles que F_\C soit isomorphe à G comme groupe algébrique et W_C soit isomorphe à X comme G-variété. Il s’agit d’un travail en commun avec Michael Bulois et Lucy Moser-Jauslin (arXiv:2106.04444).

Séminaire reporté en 2022-2023. Date précisée ultérieurement.

Les courbes hyperelliptiques sont des revêtements ramifiés de degré deux
de la droite projective. Dans le complément des points de ramification,
la préimage d’un point est constituée de deux points distincts notés p
et q. La différence p-q est de r-torsion s’il existe une fonction qui a
un zéro d’ordre r en p et un pôle d’ordre r en q (et aucune autre
singularité). La recherche de courbes hyperelliptiques définies sur les
rationnels avec r points de torsion est un problème important encore
largement ouvert.

Au contraire, dans le cas complexe on sait qu’il existe des surfaces
possédant une paire de r-torsion pour tout r suffisamment grand. Les
courbes munies de points de r-torsion forment des sous-espaces T_{g,r}
de l’espace des modules des courbes hyperelliptiques pointées. Ces
sous-espaces ne semblent pas avoir fait l’objet d’études approfondies.
Dans cet exposé, je souhaite montrer que leur topologie est
intéressante: à g fixé et pour r assez grand, l’espace T_{g,r} possède
environ g/2 composantes connexes.
J’expliquerai ce résultat grâce à des objets classiques, tels que
l’équation de Pell-Abel, les différentielles de troisième espèce ou les
tresses. Ce résultat a été obtenu conjointement dans un travail en
préparation avec Andrei Bogatyrev.

Les courbes hyperelliptiques sont des revêtements ramifiés de degré deux
de la droite projective. Dans le complément des points de ramification,
la préimage d’un point est constituée de deux points distincts notés p
et q. La différence p-q est de r-torsion s’il existe une fonction qui a
un zéro d’ordre r en p et un pôle d’ordre r en q (et aucune autre
singularité). La recherche de courbes hyperelliptiques définies sur les
rationnels avec r points de torsion est un problème important encore
largement ouvert.

Au contraire, dans le cas complexe on sait qu’il existe des surfaces
possédant une paire de r-torsion pour tout r suffisamment grand. Les
courbes munies de points de r-torsion forment des sous-espaces T_{g,r}
de l’espace des modules des courbes hyperelliptiques pointées. Ces
sous-espaces ne semblent pas avoir fait l’objet d’études approfondies.
Dans cet exposé, je souhaite montrer que leur topologie est
intéressante: à g fixé et pour r assez grand, l’espace T_{g,r} possède
environ g/2 composantes connexes.
J’expliquerai ce résultat grâce à des objets classiques, tels que
l’équation de Pell-Abel, les différentielles de troisième espèce ou les
tresses. Ce résultat a été obtenu conjointement dans un travail en
préparation avec Andrei Bogatyrev.

La conjecture de Yau-Tian-Donaldson en géométrie complexe relie l’existence de métriques de Kähler canoniques et la notion algébro-géométrique de K-stabilité. Une version forte a été prouvée pour les métriques de Kähler-Einstein sur les variétés de Fano il y a presque dix ans, et elle a considérablement amélioré notre compréhension de ce problème. Pour des métriques de Kähler canoniques plus générales, telles que les métriques de Kähler extrémales de Calabi, la conjecture YTD est toujours ouverte et, ce qui est peut-être plus important, son utilité pour prouver l’existence de métriques de Kähler extrémales est beaucoup moins claire. Je présenterai un raffinement possible de la conjecture YTD, inspiré par quelques indices dans la littérature, puis des résultats partiels dans cette direction dans le cadre des variétés sphériques.

Comme tous les « Séminaires communs de géométrie », cet exposé est constitué de deux parties, la première de 14h à 14h45 pour un large public, la seconde de 15h15 à 16h pour un public plus intéressé. Entre les deux, une pause « thé-gâteaux » est offerte par l’équipe de géométrie

Première partie : Construction de surfaces minimales : approche variationnelle.

Résumé : Après avoir expliqué ce que sont les surfaces minimales, je présenterai quelques éléments de l’approche variationnelle qui peut être utilisée pour en construire.

Partie spécialisée : Rigidité des variétés riemanniennes contenant un équateur

résumé : Si une métrique sur la sphère S^{^2} à courbure comprise entre 0 et 1 possède une géodésique de longueur 2\pi, alors la courbure est constante égale à 1. Ce résultat de rigidité est dû à Calabi. En dimension 3 et sous les mêmes hypothèses de courbure sectionnelle, l’existence d’une sphère minimale d’aire 4\pi rigidifie aussi la métrique. Ce résultat a été obtenu dans un travail précédent avec H. Rosenberg. Dans cet exposé je présenterai comment ce travail peut être généralisé en codimension supérieure. Je donnerai aussi comme conséquence un théorème de rigidité pour le « width » de Simon-Smith.

Dans un travail en commun avec Patrick Graf et Henri Guenancia, nous nous sommes intéressés à un analogue singulier du théorème de Yau qui affirme qu’une variété kählérienne compacte dont les 2 premières classes de Chern sont nulles admet un revêtement étale qui est un tore. Pour généraliser ce type de résultat au cas klt, nous établissons une version singulière de l’inégalité de Bogomolov–Gieseker. Nous nous appuyons également sur le théorème de décomposition pour les espaces kählériens Ricci plat obtenu par Bakker–Guenancia–Lehn.