The « classical equals quantum » theorem states that any equivariant Gromov-Witten invariant (3 point, genus zero) of a Grassmann variety can be expressed as a triple intersection of Schubert classes on a two-step partial flag variety. An equivariant triple intersection on a two-step flag variety can in turn be expressed as a sum over puzzles that generalizes both Knutson and Tao’s puzzle rule for Grassmannians and the cohomological puzzle rule for two-step flag varieties. These results together give a Littlewood-Richardson rule for the equivariant quantum cohomology of Grassmannians. I will speak about geometric and combinatorial aspects of this story, which is based on papers with Kresch, Purbhoo, Mihalcea, and Tamvakis.

Gromov-Witten invariants are invariants of a smooth projective variety $X$ which count the number of curves of genus zero on $X$ meeting prescribed incidence conditions. The (small) quantum cohomology ring is a commutative graded $mathbb{Z}[q]$-algebra whose structure coefficients are given by three-point genus zero Gromov-Witten invariants. It is a deformation of the ordinary cohomology and depends on polynomial variables $q$ indexed by a basis of $H_2(X)$. In this talk, we will focus on the simplest case where $X=G/P$ is a homogeneous space. In this case, Fulton-Woodward gave a description of the minimal degrees $d$ such that $q^d$ occurs in the quantum product of two Schubert cycles. We will use this description and the theory of curve neighborhoods by Buch-Mihalcea to prove that there exists a unique minimal degree $d_X$ in the quantum product of two points. This degree $d_X$ can be completely understood in terms of Kostant’s cascade of strongly orthogonal roots. Moreover, it can be shown that any minimal degree in any quantum product of two Schubert cycles is bounded by $d_X$.

Une compactification lisse d’un quotient de domaine symétrique borné étant donnée, on souhaite étudier les notions de positivité usuelles de ses fibrés cotangents logarithmique et standard. Pour cela, on prouve un critère métrique de grosseur des fibrés cotangents, applicable à  toute paire logarithmique lisse. On peut ainsi montrer que le fibré cotangent logarithmique de la compactification précédente est toujours gros, ce qui redonne un résultat de Y. Brunebarbe.

Dans le cas d’un quotient de la boule, on s’intéresse aux revêtements ramifiés de la compactification, étales sur l’intérieur. On donne des ordres de ramification effectifs à  partir desquels toutes les sous-variétés d’un tel revêtement, non incluses dans le bord, ont leur fibré cotangent gros, ou nef.

The Littelmann paths model is a strong tool used to understand finite-dimensional representations of complex semi-simple Lie algebras. It has remarkable applications, such as a rule for the the decomposition into simple summands of the tensor product of two irreducible representations and of the restriction of a simple representation to a Levi sub algebra (those obtained by removing nodes from the Dynkin diagram). Such rules are called branching rules. We prove a conjecture of Naito-Sagaki about a branching rule for the restriction of irreducible representations of $mathfrak{sl}(2n,mathbb{C})$ to $mathfrak{sp}(2n,mathbb{C})$ in terms of Littelmann paths. The embedding is given by the folding of the type $A_{2n-1}$ Dynkin diagram, and is not of Levi type. So far, no non-Levi branching rules were known in terms of Littelmann paths. This is joint work with Bea Schumann.

Les algèbres de Hecke associées aux groupes de Weyl finis ou
affines sont centrales en théorie des représentations, en géométrie et en
topologie de petite dimension notamment. En 1979, motivés par des
questions reliées aux singularités des variétés de Schubert, Kazhdan et
Lusztig ont introduit deux bases (dites canoniques) de ces algèbres. Ils
en ont donné une définition purement combinatoire, qui se généralise aux
algèbres de Hecke associées aux groupes de Coxeter arbitraires. Ils ont en
outre formulé une conjecture de positivité: la matrice de changement de
base entre l’une des bases canoniques et la base dite standard de
l’algèbre de Hecke ne devrait avoir pour coefficients que des polynômes à 
coefficients positifs. Si cette conjecture a été rapidement démontrée par
Kazhdan et Lusztig (1980) dans le cas des groupes de Weyl en utilisant des
techniques géométriques, l’absence de telles techniques dans le cas
général a longtemps constitué un obstacle à  une approche générale,
jusqu’aux travaux de Soergel (2007): Soergel a proposé un remplacement à 
la géométrie (a priori) inexistante dans le cas général, ce qui a permis
une preuve récente de la conjecture de positivité en toute généralité par
Elias et Williamson (2014).

Après quelques rappels sur les groupes de Coxeter, leurs algèbres de Hecke
et les groupes d’Artin-Tits associés, nous tenterons d’expliquer l’idée de
la construction de Soergel, qui repose sur une technique de
catégorification, sans entrer dans les détails techniques. Nous
expliquerons comment cette approche peut également être utilisée pour
résoudre certaines généralisations de la conjecture de positivité énoncées
par Dyer, et reliées à  des problèmes touchant aux groupes d’Artin-Tits.

Nous nous intéressons aux groupes fondamentaux des variétés algébriques lisses complexes quasi-projectives, que nous étudions à  travers leurs représentations dans un groupe algébrique linéaire et les déformations de ces représentations.

Dans le cas d’une variété kählérienne compacte, la théorie de Goldman-Millson (1988) décrit précisément les obstructions aux déformations d’une représentation donnée, inspirée par les travaux sur le type d’homotopie réelle et la théorie de Hodge des variétés kählériennes compactes. Les seules obstructions sont d’ordre 2.

Pour une variété algébrique non compacte, la théorie est étendue par Kapovich-Millson (1998) à  l’aide de structures de Hodge mixtes. Nous montrons comment dans certains cas la théorie se réduit encore à  des seules obstructions d’ordre 2 et nous donnons des exemples o๠se phénomène se produit.

Travail prépublié arXiv:1509.02871

Dans son papier fondamental, K. Saito développe la notion de formes différentielles logarithmiques et de résidus le long d’un diviseur réduit singulier. M. Granger et M. Schulze montre que lorsque le module des résidus logarithmiques est minimal, le diviseur est à  croisements normaux en codimension 1. Plus récemment, A.G. Aleksandrov et A. Tsikh ont généralisé certaines de ces notions au cas des intersections complètes. Dans cet exposé, je commencerai par introduire le module des formes différentielles logarithmiques et leurs résidus le long d’un diviseur ou d’une intersection complète. On s’intéressera ensuite au cas des courbes, pour lesquelles on relie les valuations du module des résidus aux valuations de l’idéal jacobien et des différentielles de Kähler.

Après une introduction intuitive de la géométrie birationnelle, j’expliquerai comment celle-ci peut devenir plus simple sur des variétés munies de l’action d’un groupe réductif. Je définirai ensuite les grandes lignes du programme des modèles minimaux, et je détaillerai comment décrire et faire tourner ce programme dans le cadre de familles « bien choisies » de variétés munies de l’action d’un groupe réductif, à  l’aide des représentations du groupe.

Je présenterai une condition nécessaire et suffisante d’existence
de solitons de Kähler-Ricci sur les compactifications de groupes, des
variétés qui généralisent les variétés toriques. La condition s’exprime
en terme d’un barycentre du polytope moment associé à  la variété et peut
se vérifier explicitement. Je discuterai ensuite l’interprétation de cette
condition en terme de K-stabilité, et mon travail en cours pour étendre
ces résultats aux variétés sphériques.

Cet exposé est à  propos d’un travail en cours avec Jérémy Blanc (Bâle) et Andrea Fanelli (Bâle). Le groupe de Cremona est le groupe des transformations birationnelles de l’espace projectif complexe de dimension n. Ce groupe n’est pas algébrique dès lors que n>1, mais on peut espérer (au moins lorsque n est petit) classifier ses sous-groupes connexes algébriques maximaux.

En dimension 2, la classification est ancienne et bien connue (F. Enriques, 1893). En dimension 3, la première étude rigoureuse fà»t effectuée par H. Umemura dans les années 1980 dans une série de cinq papiers (plutôt longs et techniques).

Dans cet exposé, j’expliquerai comment on peut espérer redémontrer les résultats d’Umemura d’une façon beaucoup plus simple et géométrique à  l’aide (d’un usage élémentaire) de la théorie de Mori. Je terminerai en discutant plusieurs généralisations possibles des résultats d’Umemura via cette nouvelle approche.

Nous présenterons notre solution à  la partie qualitative et notre solution partielle à  la partie quantitative de la conjecture de Demailly des inégalités de Morse transcendantes pour une différence de deux classes nef sur une variété kählérienne compacte. En plus d’estimations des solutions de certaines équations de Monge-Ampère, la méthode utilise la dualité entre la cohomologie de Bott-Chern et celle d’Aeppli de bidegré complémentaire, ainsi que la dualité entre le cône pseudoeffectif des classes de Bott-Chern de $(1, 1)$-courants positifs fermés introduit par Demailly et le cône de Gauduchon des classes d’Aeppli de bidegré $(n-1, n-1)$ de métriques de Gauduchon que nous avons introduit.

Je présenterai le résultat suivant obtenu en collaboration avec
Andreas Höring : soit $X$ une variété de Fano, lisse et telle que
$-K_X cdot C geq dim X$ pour toute courbe rationnelle $C subset
X$. Alors $X$ est un espace projectif ou une hypersurface
quadrique.

Dans ce travail en commun avec Jean-Pierre Demailly, nous montrons que toute variété presque complexe compacte lisse peut être plongée dans une variété algébrique complexe, transversalement à  une distribution algébrique.

Dans cet exposé je m’intéresserai aux croissances et suites de degrés des automorphismes polynomiaux de $mathbb{C}^n$ et des transformations birationnelles de $mathbb{P}^n_{mathbb{C}}$.

En 1877 Schottky a construit des actions libres et propres du
groupe libre de rang $r$ sur un domaine de la sphère de Riemann qui ont pour quotient une surface de Riemann compacte de genre $r$.
En 1984 Nori a généralisé cette construction à  tout espace projectif complexe de dimension impaire dans le but d’obtenir des variétés complexes compactes dont le groupe fondamental est libre. Là¡russon ainsi que Seade et Verjovsky ont étudié des propriétés analytiques et géométriques de ces variétés quotients, comme leur dimensions algébrique
et de Kodaira, et leurs déformations. Je parlerai d’un travail récent avec Karl Oeljeklaus (Aix-Marseille Université) o๠nous avons considéré la question aux quelles variétés rationnelles homogènes on peut généraliser la construction de Nori. De plus, j’expliquerai les résultats que nous avons obtenus sur la géométrie des nouveaux exemples de variétés quotients.

Claire Voisin a récemment proposé une nouvelle approche pour l’étude du groupe de Chow des 0-cycles sur les variétés holomorphes symplectiques. Les objets clé dans cette approche sont les sous-variétés coisotropes de telles variétés. Dans l’exposé je présenterai des résultats portant sur l’existence et la théorie des déformations de sous-variétés coisotropes des variétés holomorphes symplectiques, obtenus dans une séries de travaux en collaboration avec F. Charles, Ch. Lehn et G. Mongardi.

La conjecture de la négativité bornée a été formulée par l’école italienne dès le début de la théorie des surfaces algébriques. Elle prévoit que pour une surface projective complexe lisse X, il existe une constante b telle que pour toute courbe C (réduite) sur X l’auto-intersection de C vérifie C^2 >b.
Même si on sait que cette conjecture est vérifiée par une surface donnée (par exemple le plan), on ne sait en général rien dire pour un éclatement (multiple) de cette surface. Les constantes de Harbourne ont été récemment introduites pour aborder cette question.
Dans cette exposé nous ferons le point sur les connaissances actuelles et présenterons nos résultats sur les surfaces abéliennes contenant des courbes elliptiques.

On considère le problème de décrire les pairs d’endomorphismes holomorphes permutables (c.a.d. qui commutent) de l’espace projective complexe. Le cas de dimension $1$ est classique et a été classifié par Fatou, Julia et Ritt sous la condition

$f^n neq g^m$ pour tout $n,m geq 1.$ (1)

En dimension quelconque un théorème de Dinh et Sibony montre que, si $f$ et $g$ sont des endomorphismes permutables de $mathbb P^k$ et leurs degrés satisfont $d_f^n neq d_g^m$ pour tout $n,m geq 1$ alors $f$ et $g$ sont induits par des applications affines de $mathbb C^k$ après un quotient par un groupe discret de transformations affines. Leur conclusion n’est plus vraie si on remplace la condition sur les degrés par la condition plus faible $f^n neq g^m$ pour tout $n,m geq 1$. Un contre exemple existe en dimension $k geq 3$.

Le but de cet exposé est de présenter une description des endomorphismes permutables du plan projectif sous la condition plus faible (1), ce qui complète la classification en dimension 2.