Dans cet exposé j’essayerai d’expliquer les résultats de C. Xu sur les groupes fondamentaux épointés de germes de singularité klt (c’est à  dire le groupe fondamental d’un voisinage analytique assez petit privé du point singulier considéré). La démonstration repose en grande partie sur des résultats récents du MMP.

Au cours de leur classification des faux plans projectifs, Cartwright et Steger ont découvert de façon assez surprenante une surface de caractéristique d’Euler 3 dont le revêtement universel est la boule, et qui fibre sur une courbe elliptique. Le but de cet exposé sera de décrire de façon aussi précise que possible la géométrie de cette surface. Il s’agit d’un travail en commun avec D. Cartwright et S.-K. Yeung.

Ceci est un exposé de groupe de travail. J’essaierai d’expliquer certains travaux de Maryam Mirzakhani sur les volumes d’espaces de modules, un peu plus en détail qu’à  la journée d’accueil de l’IECL.

A classical uniformization result of Yau shows that any compact Kähler manifold with vanishing
Chern classes is, up to a cover, an Abelian variety. After generalizing this result to the context
of Kawamata log-terminal (or klt, for short) varieties, we prove a complete characterization of quotients
of Abelian varieties (by finite groups acting freely in codimension-one) via vanishing of (orbifold) Chern classes.
The main ingredient of the proof consists of tracing a correspondence (up to a suitable cover) between
semistable reflexive sheaves over klt spaces with vanishing orbifold Chern classes and locally-free sheaves whose
associated bundle is flat.
This is a joint work with Steven Lu.

Un quotient de la boule est une variété complexe compacte ou de volume fini dont le revêtement universel est isomorphe à  la boule unité de $mathbb C^N$. Il est en général difficile de construire des exemples d’applications holomorphes surjectives entre de telles variétés, mis à  part les revêtements finis. Quelques exemples ont été construits et étudiés par Mostow, Toledo et Deraux. Dans cet exposé j’expliquerai comment construire quelques nouveaux exemples. Cela repose sur les travaux de Couwenberg, Heckman and Looijenga.

Un résultat surprenant de Danilov-Gizatullin dit que la classe d’isomorphie abstraite du complémentaire d’une section ample dans une surface de Hirzebruch ne dépend que de l’auto-intersection de cette section: en particulier elle ne dépend ni de la surface projective ambiante, ni du choix de la section à  auto-intersection fixée. Un tel complémentaire possède la structure topologique naturelle d’un fibré en droites complexes sur la sphère, et le résultat de Danilov-Gizatullin dit de manière équivalente que son type d’isomorphie en tant que variété algébrique affine est uniquement déterminé par le degré de ce fibré en droites sous-jacent. Plus généralement, le complémentaire d’un sous-fibré en hyperplans d’un fibré projectif sur la droite projective est homéomorphe à  un fibré vectoriel complexe sur la sphère et l’on peut formuler la conjecture, a priori très optimiste et ne reposant sur aucune base sérieuse, que sous certaines conditions raisonnables portant sur le sous-fibré (pas exemple, son amplitude), le type d’isomorphie abstrait en tant que variété algébrique d’un tel complémentaire est de nouveau totalement déterminé par le type topologique du fibré vectoriel sous-jacent, soit donc uniquement par son rang et son degré. Nous verrons durant l’exposé que cette « conjecture » s’avère ne pas être aussi fausse que prévue …

Je présenterai les principales étapes de mon programme pour étudier la torsion dans la cohomologie des espaces de Lubin-Tate et des variétés de Shimura à  la Harris-Taylor-Kottwitz, via l’étude d’une version entière de la filtration de monodromie-poids du faisceau pervers des cycles évanescents.

On construit certains fibrés aCM stables sur des hypersurfaces cubiques. Pour étudier la géométrie de leurs espaces de modules on utilise une sous-catégorie triangulée de la catégorie dérivée des faisceaux cohérents qui les contient naturellement. Il s’agit d’une collaboration avec Emanuele Macrଠet Paolo Stellari.

Dans un travail mené avec G. Pacienza nous montrons la terminaison d’un log-MMP quelconque pour une variété symplectique irréductible projective. Ce résultat est une généralisation de travaux de Matsushita et Nakamura et utilise un critère de Shokurov. Si le temps le permet nous allons discuter quelques applications possibles.

Je présenterai le groupe des transformations de Cremona du plan et la topologie naturelle qu’on peut mettre sur celui-ci. L’ensemble des applications de degré borné est fermé et la question naturelle qui survient est de déterminer quelles applications de petit degré sont limites de celles de plus haut degré. Je donnerai quelques réponses à  ces question. Travail en commun avec Alberto Calabri.

Soit $D$ un diviseur à  croisements normaux simples dans une variété kählérienne compacte $X$. Dans mon exposé j’expliquerai pourquoi l’existence sur $X-D$ d’une variation de structures de Hodge polarisées avec structure entière force l’existence d’une forme différentielle symétrique logarithmique non triviale, i.e. une section non nulle du faisceau $S^{>0}Omega^1(log D)$.
Le cas compact ($D = emptyset$) était l’un des résultats principaux d’un travail en commun avec Bruno Klingler et Burt Totaro. La preuve dans le cas général dépend fortement de la construction d’un foncteur « cycles proches » global dans une catégorie adéquate.
Comme application immédiate, on obtient de nouvelles restrictions pour les variétés qui supportent une famille non isotriviale de variétés polarisées qui vérifient un théorème de Torelli infinitésimal.

La question suivante est classique en Géométrie complexe depuis fort longtemps : Soit $(X_t)$ , $t$ décrivant un disque $D$ de centre $0$, une famille holomorphe de variétés complexes compactes telle que pour t différent de $0$ la variété $X_t$ soit projective. Alors $X_0$ est-elle biméromorphe à  une variété projective ? Dans le cas o๠l’on suppose $X_0$ kahlérienne,la solution est simple. Sans hypothèse supplémentaire elle est encore ouverte à  ce jour. Dans un article aux Invent. Math. de l’an passé, Dan Popovici résoud cette question dans deux cas intéressants (donc avec des hypothèses supplémentaires assez faibles). Nous expliquerons comment l’utilisation de l’espace des cycles relatifs de codimension 1 de la famille considérée permet de généraliser notablement les résultats présentés dans cet article.

In this talk I will recall a theorem by Barth, Van de Ven, Tyurin and Sato claiming that a finite rank vector bundle on the infinite complex projective space $P^{infty}$ is isomorphic to a direct sum of line bundles. Then I will describe sufficient conditions on a locally closed ind-variety which ensure that the same result holds on $X$. I will also exhibit natural classes of linear locally complete ind-varieties which satisfy these sufficient conditions.

In this talk we shall present a group theoretical method to calculate the number of connected components of the moduli space of surfaces of general type isogenous to a product of curves. Then, we give then asymptotic growth of the number of these components for certain families of surfaces isogenous to a product with group either an alternating group, or a symmetric group or an abelian group or finally 2-groups. With our methods we get a better lower bound than the one obtained by Manetti. (jww. S.Garion/M.Loenne).

Je réponds, dans certains cas, à  une question de Frédéric Campana. Soit $C$ est une courbe sur une surface Kählérienne telle que :
1) $C.C=0$;
2) l’image du groupe fondamental de $C$ dans le groupe fondamental de $X$ est d’indice infini.
Alors un multiple de $C$ est une fibre d’une application holomorphe de $X$ vers une courbe.

L’objet de cet exposé est l’étude des variétés algébriques normales affines complexes munies d’une opération d’un tore algébrique. Nous rappellerons une description combinatoire du à  Altmann et à  Hausen dans le cas o๠l’orbite générale est de codimension un. Ensuite, nous donnerons quelques résultats nouveaux les concernant.

Je présenterai un travail en collaboration avec Mihai Paun dans lequel nous démontrons l’existence de métriques de Kähler Einstein à  singularités coniques le long d’un diviseur à  croisement normaux. Si le temps le permet, j’expliquerai aussi comment généraliser ces résultats au cadre singulier des paires klt d’une part et à  celui ces métriques à  singularités mixtes cusp et coniques d’autre part. On verra également le lien avec des théorèmes d’annulation de champs de tenseurs holomorphes orbifoldes.

Les propriétés de l’espace de modules des fibrés de Higgs sur une surface de Riemann compacte construit par N. Hitchin en 1987 ont été l’objet de nombreux travaux. Notamment, C. Simpson, en 1994, a donné une généralisation de la construction de cet espace pour toutes variétés projectives lisses. Pourtant, l’étude de la fonction de l’énergie d’un champs de Higgs (qui est plus généralement définie sur l’espace des représentations du groupe fondamental de n’importe quelle variété riemannienne) n’a pas encore été systématiquement développé en dimension supérieure. Après avoir résumé les idées fondamentales de la correspondance entre représentations et fibrés de Higgs obtenue par les application harmoniques, on se propose dans cet exposé de présenter une approche à  cet étude par le développement d’une théorie des déformations des applications harmoniques tordues jusqu’au second ordre. Cette théorie permet d’établir des formules pour les variations de l’énergie, avec lesquelles on arrive à  démontrer l’identification entre les points critiques de l’énergie et les variations polarisées de structure de Hodge complexes. On peut aussi démontrer que l’énergie est un potentiel de Kähler pour la structure complexe naturelle et finalement calculer les valeurs propres de la matrice hessienne de l’énergie.