Differential geometry seminar

On regarde des convexes dans R^{d+1} (muni de sa métrique Lorentzienne standard) tels que l’application de Gauss soit surjective sur l’espace hyperbolique. Comme pour les corps convexes, on peut définir des mesures d’aires pour ces convexes, et étudier des problèmes de mesure prescrite. Une classe d’exemples de tels convexe vient de variétés lorentziennes plates étudiées en relativité générale. Dans Minkowski, cela se donne des convexes invariants pour l’action de certains groupes d’isométries. On étudiera le problème de Minkowski (prescription de l’aire) pour ces convexes. Travaux partiellement en commun avec Francesco Bonsante et Giona Veronelli.

L’étude du flot de Ricci passe très souvent par la compréhension des conditions de positivité sur le tenseur de courbure qui sont stables sous l’action du flot de Ricci. Un principe du du maximum dà» à  Hamilton montre que l’étude des ces « conditions invariantes » revient à  l’étude de certains cônes invariants sous le flot d’un champ de vecteur sur l’espace des « opérateur de courbure algébriques ». Dans l’exposé on verra des résultats montrant certaines restrictions sur la taille de ces cônes invariants, en particulier ils ne peuvent pas contenir dans leur intérieur l’opérateur de courbure de CP^n, à  l’exception cône des opérateurs à  courbure scalaire positive.

Soit G un graphe plongé dans la sphère. Quand est-ce que G est le 1-squelette d’un polyèdre inscrit dans un hyperboloide à  une nappe ? On montrera que c’est le cas si et seulement si G est le 1-squelette d’un polyèdre inscrit dans la sphère et qu’il a un cycle hamiltonien. La preuve repose sur la description des angles dièdres des polyèdres idéaux dans l’espace anti-de Sitter. Un résultat analogue s’applique aux polyèdres inscrits dans un cylindre, en relation avec une géométrie “transitionnelle” entre hyperbolique et anti-de Sitter. Travail en commun avec Jeff Danciger et Sara Maloni.

La moyennabilité des groupes a été introduite à  la suite du paradoxe de Banach-Tarski qui permet de découper une boule de R^3 en cinq morceaux, les réassembler pour faire deux boules (de même rayon que la boule initiale). Les sous-groupes aléatoires invariants permettent de compactifier d’un coup les réseaux et les sous-groupes normaux d’un groupe localement compact fixé et donne une vision probabiliste à  ces objets. J’introduirai ces deux notions en essayant de faire appel à  des objets connus et j’expliquerai pourquoi les sous-groupes aléatoires invariants et moyennables vivent dans le radical moyennable. Ce qui répond à  une question qui était à  la mode parmi les gens qui s’intéressent à  ces objets.

Une structure bilagrangienne sur une variété symplectique est la donnée de deux feuilletages lagrangiens transverses. Dans un premier temps je vais décrire ces structures et leurs propriétés remarquables, puis étudier leurs relations possibles avec les structures hyperkähleriennes, qui sont l’analogue quaternionique des structures kähleriennes. Dans un second temps, nous verrons que l’étude de ces structures est pertinente en théorie de Teichmà¼ller, notamment dans la description de la géométrie de l’espace quasifuchsien. Il s’agit de travaux en cours en collaboration avec Andy Sanders.

En relativité générale, les équations de contraintes déterminent les données initiales permettant de résoudre les équations d’Einstein comme un problème d’évolution. La méthode conforme – initiée par Choquet-Bruhat, Lichnerowicz et York – rend ces équations déterminées en les posant sous la forme d’un système d’équations elliptiques non-linéaires (sur)-critiques fortement couplé. Nous étudierons dans cet exposé des propriété de stabilité de ce système elliptique. La notion de stabilité étudiée ici, définie comme une propriété de dépendance continue de l’ensemble des solutions du système en ses coefficients, se traduit en termes de pertinence physique de la méthode conforme dans la construction d’espace-temps solutions des équations d’Einstein. L’analyse de la stabilité du système des contraintes fait intervenir des techniques fines de blow-up et d’étude des défauts de compacité d’équations elliptiques critiques

Résumé

Depuis les travaux de M. Gromov sur les structures géométriques rigides,on sait que les structures rigides dont le groupe d’automorphisme a une dynamique « compliquée » sont souvent localement homogènes, au moins sur un ouvert dense.  Nous reviendrons sur quelques résultats classiques illustrant ce principe dans le cadre des variétés lorentziennes de dimension 3, et présenterons quelques aspects nouveaux.

We discuss the interrelation between the asymptotic behavior of the trajectories of the geodesic flow associated with the modular surface and Diophantine properties of the points at infinity corresponding to the trajectory. Using the correspondence we give estimates for the number of solutions for certain quadratic inequalities in terms of the Hurwitz continued fraction expansions of the slopes of their linear factors.