PDE and applications seminar | Metz

Nous étudions une équation de type Hardy–Sobolev critique sur une variété riemannienne compacte à bord, en présence d’une singularité localisée sur le bord. L’analyse repose sur des développements asymptotiques fins de la métrique en coordonnées adaptées et sur des fonctions tests concentrées au voisinage du point singulier. Elle met en évidence une interaction entre la dimension de la variété, la géométrie locale du bord et la perturbation du problème, dans l’obtention de critères d’existence de solutions. Le cas limite où la courbure moyenne au point singulier s’annule soulève alors une question plus délicate : les effets géométriques intrinsèques peuvent-ils encore intervenir dans le phénomène de compacité ?

Résumé à venir

We will talk about necessary and sufficient conditions for an entire solution $u$ of a biharmonic equation with exponential nonlinearity $e^u$ to be a radially symmetric solution. We need to know the asymptotic expansions of the solution $u$ and its laplacian at infinity in order to apply the standard Moving-Plane-Method (MPM) for obtaining the radial symmetry for a system of equations.

Plan de l’exposé : 1/ Introduction (historique,origine des équations et comparaison avec équations de Navier-Stokes incompressibles). 2/ Position du problème (Estimations de l’énergie anisotropiques).

This lecture is devoted to address the problem of controlling uncertain systems submitted to parametrized perturbations. We introduce the notion of averaged control according to which the average of the states with respect to the uncertainty parameter is the quantity of interest. We observe that this property is equivalent to a suitable averaged observability one according to which the initial datum of the uncertain dynamics is to be determined by means of averages of the observations done. We will first discuss this property in the context of finite-dimensional systems to later consider Partial Differential Equations, mainly, of wave and parabolic nature. As we shall see, surprisingly, the averaging process with respect to the unknown parameter may lead a change of type ion the PDE under consideration from hyperbolic to parabolic, for instance, significantly affecting the expected control theoretical properties. We will also present some open problems and perspectives of future developments.

Résoudre numériquement une EDP sur un grand domaine peut être couteux. Or parfois il est suffisant d’utiliser un modèle moins couteux dans une région de l’espace, loin de la zone d’interet. Pour le problème modèle de l’équation d’advection-diffusion nous proposons un algorithme de décomposition de domaine hétérogène qui permet d’obtenir une solution très proche de la solution visqueuse alors que dans une région de l’espace on se contente de résoudre une équation non visqueuse. Nous étudions cet algorithme et nous le comparons avec d’autres algorithmes de décomposition de domaine hétérogènes déjà  existants. Ceci est un travail en commun avec M.J. Gander et L. Halpern.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux solutions radiales d’un modèle de chimiotaxie dans une boule, plus précisément à  un système parabolique-elliptique de type Keller-Segel avec sensitivité non-linéaire critique. Celui-ci est une généralisation du cas « linéaire » bien connu qui admet 8 pi comme masse critique. En dimension plus grande que deux, on verra que le système présente aussi un phénomène de masse critique mais avec de fortes différences qualitatives, notamment dans le cas de la masse critique. De plus, ce système peut être vu comme un flot gradient sur une « variété Riemannienne de dimension infinie ». Dans le cas sous-critique, en s’aidant de cette interprétation, on peut montrer que la convergence uniforme vers l’unique solution stationnaire a lieu à  vitesse exponentielle.

In this work, we consider two coupled abstract linear evolution equations with one infinite memory acting on the first equation. Under a boundedness condition on the past history data, we prove that the stability of our abstract system holds for convolution kernels having much weak decays than the exponential one considered in the literature. The general and precise decay estimate of solution we obtain depends on the growth of the convolution kernel at infinity and the regularity of the initial data. We also present various applications to some hyperbolic distributed coupled systems such as wave-wave, Petrovsky-Petrovsky, wave-Petrovsky and elasticity-elasticity.

The talk will be on the discretization of Navier-Stokes equations to simulate the dynamic of a fluid, a mesh adaptivity technique to capture multiple-shocks based on shock-filtering model will be presented. The talk will finish with some industrial applications.

Je présenterai un problème d’homogénéisation avec inclusions qui m’a conduit à  trouver des inégalités de Korn unilatérales utilisant la partie positive de la composante normale (et pour les domaines invariants par rotation une partie de la composante tangentielle). Je montrerai comment les établir simplement, et en même temps toute une série d’inégalités de Korn.

Résumé

Les espaces de Sobolev d’applications à  valeurs dans le cercle unité apparaissent dans l’étude de la supraconductivité ou du micromagnétisme. Je décrirai la structure de ces espaces. La description fait intervenir une ou deux phases et un ensemble singulier. Parmi les applications directe de ce théorème de structure, il y a la théorie des traces pour des applications unimodulaires et la solution partielle du problème de la racine carrée. La suite de l’exposé va porter sur le contrôle des phases, avec applications à  l’existence de solutions de problèmes variationnels critiques