Probabilities and Statistic working group

Date possible pour le colloquinte

Les deux premiers esposés de l’année nous aurons le plaisir d’écouter Renaud sur Primitives et dérivées fractionnaires : quelques résultats et applications. Suit le résumé que Renaud nous a transmis.
Dans cet exposé nous donnons des définitions des primitives et dérivées fractionnaires.
Plusieurs résultats seront enoncées et démontrés, en particulier sur l’intégration par
parties et les équations différentielles fractionnaires.
Enfin nous présenterons quelques
applications en probabilités.

On considère un algorithme probabiliste suivi par des fourmis cherchant un plus court chemin entre leurs nids et une source de nourriture. À chaque étape une fourmi suit une marche aléatoire, dont les transitions dépendent des phéromones déposés par les fourmis précédentes, de son nid jusqu’à la source de nourriture. Nous verrons que le renforcement (i.e. le choix des arêtes sur lesquelles une fourmi dépose des phéromones) influe sur le comportement du processus, qui dans un certain nombre de cas converge : intuitivement, les fourmis coopèrent pour trouver des plus courts chemins. Je parlerai de différents résultats de convergence, en particulier pour une variante du modèle sur laquelle j’ai travaillé, dans laquelle le nid de départ est également aléatoire.

Nous l’avons tous appris en licence : il n’est pas possible d’étendre la mesure de Lebesgue à toutes les parties de [0, 1] d’une façon qui en conserve les propriétés satisfaisantes ! Il y a même pire : même en retirant la notion de « propriétés satisfaisantes », on ne peut construire aucune mesure de probabilité sur 𝔓([0, 1]) qui étende la mesure de Lebesgue (théorème d’Ulam) ; et sur 𝔓(ℝ3), il n’existe aucune extension finiment additive de la mesure de Lebesgue qui serait invariante par isométrie (paradoxe de Banach-Tarski)… D’autres points sont moins paradoxaux, mais presque aussi frustrants : pourquoi ne peut-on pas définir le support d’une mesure comme « la plus petite partie de mesure pleine » ? Pourquoi n’est-il pas possible de couper ℝ en deux parties parfaitement symétriques (comme on couperait une ficelle avec une lame) autrement qu’« à ensemble négligeable près » ?…

Il s’avère que tous ces problèmes disparaissent lorsque, au lieu de raisonner en termes de parties de ℝd, on raisonne plutôt en termes de lieux. Un « lieu » peut représenter une partie de ℝd quelconque, mais aussi des choses plus exotiques, comme par exemple le voisinage de l’infini ou le germe d’un cône ouvert : il s’agit simplement d’une autre façon d’appréhender la topologie, façon parfois qualifiée de « topologie sans points » : en effet, dans cette approche, il est possible de ne contenir aucun point sans être vide pour autant ! La théorie des lieux, développée initialement pour des raisons n’ayant rien à voir avec les questions de mesurabilité, se trouve néanmoins être parfaitement adaptée à celles-ci, et y résout nombre de paradoxes. Le point central est que la notion d’« être disjoints » au sens des lieux s’avère plus restrictive que la notion usuelle d’« ensembles disjoints » : or, toutes les constructions paradoxales de la théorie de la mesure reposent sur des ensembles dont la disjonction est “pathologique”, ce que la théorie des lieux permet de mettre en valeur !

Dans cet exposé, j’essaierai d’expliquer toutes ces choses, que j’ai découvertes récemment.

In this talk we will discuss Self-Interacting diffusions (SID), its basic properties and applications. We also discuss what constitutes the Exit-time problem, why it is important, and for which dynamical systems it was already established. We present the recent results of exit-time problem for a specific case (convex confinement and convex interaction) of SID and how they were established. In the end of the talk we discuss some ideas to generalize this result

Quadratic harnesses (QH) are Markov processes with linear
conditional expectations and quadratic conditional variances given the
natural past-future filtration. They are governed by 5 numerical
constants hidden in coefficients of conditional variances. A large
family of QH processes can be identified through Askey-Wilson (AW)
processes, which are Markov processes with transition and marginal laws
defined in terms of orthogonality measures of the celebrated system of
the Askey-Wilson polynomials. We proved in 2017 (joint paper with W.
Bryc) that the generating function for the stationary distribution of
the ASEP (asymmetric simple exclusion process) with open boundaries can
be represented through moments of QH (and AW) processes. I.Corwin and
A.Knizel (2021) used this representation for ASEPs of growing size with
a suitable asymptotic regime to find the Laplace transform of the
stationary measure of the open Kardar-Parisi-Zhang (KPZ_) equation on
the interval. Recently (joint paper with W. Bryc, A. Kuznetsov, Y. Wang)
we “inverted” this Laplace transform and thus identified directly the
solution of the open KPZ in terms of a Doob h-transform of the Brownian
motion killed at an exponential rate.

The bisexual Galton-Watson process [Daley, ‘68] is an extension of the classical Galton-Watson process, but taking into account the mating of females and males, which form couples that can accomplish reproduction. Properties such as extinction conditions and asymptotic behavior have been studied in the past years, but multi-type versions have only been treated in some particular cases.

In this work we deal with a general multi-dimensional version of Daley’s model, where we consider different types of females and males, which mate according to a ‘’mating function’’. We consider that this function is superadditive, which in simple words implies that two groups of females and males will form a larger number of couples together rather than separate.

One of the main difficulties in the study of this process is the absence of a linear operator that is the key to understand its behavior in the asexual case, but in our case it turns out to be only concave. To overcome this issue, we use a concave Perron-Frobenius theory [Krause ’94] which ensures the existence of eigen-elements for some concave operators. Using this tool, we find a necessary and sufficient condition for almost sure extinction as well as a law of large numbers. Finally, we study the convergence of the process in the long-time through the identification of a supermartingale.
This is a joint work with Coralie Fritsch and Denis Villemonais.

Je présenterai un modèle de percolation en une dimension introduit par Curien, Kozma, Sidoravicius et Tournier en 2017, la “nouille infinie”. Bien que le modèle soit unidimensionnel et très simple à définir (en utilisant des appariements non croises), la question de l’existence d’une composante infinie est ouverte. Je définirai ce modèle, expliquerai ce qui est connu et conjecturé, puis comment, lors d’un travail en cours avec Paul Thévenin (Uppsala), on est arrivés à regarder la taille de la composante de 0 dans ce modèle de percolation pour répondre à une question de Goulden, Nica et Puder sur le nombre de composantes d’un système méandrique.