Groupe de travail Probabilités et Statistique

Date possible pour le colloquinte

Queueing systems with a product-form stationary distribution have played a leading role in the development of queueing theory. Popular examples are Jackson networks from the 1950’s, Whittle and BCMP networks from the 1970s, and order-independent queues from the 1990s. The goal of this talk is to give a brief overview of product-form queueing systems. I will first give a short definition, which I will illustrate with several recent applications, namely, to redundancy scheduling and online stochastic matching. In a second time, I will discuss how the form of the stationary distribution can be used to perform inference and optimization in these systems.

On y parlera de graphons, de permutons et du récent papier de Kenyon sur les patterns dans les suites.

This talk will give an overview of how random graphs can be used to model complex networks as well as processes that run on them. The main motivating examples are the analysis of network centrality and community structure on directed networks, such as the web, and the evolution of opinions on a social network. The main focus of the talk will be on the various types of random graph models that are commonly used, including both static and dynamic ones. I will discuss the notion of “sparsity” and explain how it impacts both the analysis and the type of results that one can obtain. For sparse graphs I will describe the notion of “local weak convergence” and explain how it can be used to obtain tractable approximations for stochastic processes on random graphs that depend only on the network’s statistical properties.

C’est un lieu commun que de dire que musique et mathématiques entretiennent des relations étroites, à de multiples niveaux. Dans cet exposé je m’intéresserai plus spécifiquement aux liens relevant de la psycho-acoustique : qu’est-ce qui fait qu’un ensemble de notes nous semble harmonieux, ou pas, indépendamment de notre arrière-plan culturel ? La réponse à cette question, qui s’appuie sur le fonctionnement de l’audition humaine, n’a été comprise de façon convaincante qu’il y a une vingtaines d’années : j’en expliquerai brièvement la théorie, qui servira de motivation à la suite de l’exposé.

Une fois compris les principes de l’harmonie, on s’aperçoit vite que la théorie se retrouve à formuler des injonctions contradictoires, en particulier pour les instruments qui ne peuvent émettre qu’un ensemble discret de notes, en raison de contraintes de nature arithmétique. Dans la pratique, on doit donc arbitrer entre ces injonctions contradictoires pour accorder son instrument de façon aussi satisfaisante que possible : c’est ce qu’on appelle un « choix de tempérament ». Si aujourd’hui on privilégie le tempérament dit « égal », l’époque baroque (~XVIII^e siècles) s’est quant à elle intéressée aux tempéraments dits « bons », qui présentent l’intérêt qu’un même morceau “sonnera” selon un “ambiance” différente en fonction de la hauteur à laquelle on le joue. J’expliquerai quels critères ces tempéraments visent à optimiser, et ce que cela donne sur le plan mathématique.

Après ces prolégomènes plutôt de nature arithmétique, j’en viendrai à deux développements de nature statistique :

Possible reunion d’equipe

À quoi ressemble une forêt couvrante aléatoire d’un grand graphe complet, vue d’un sommet typique ?

Grimmett a répondu à cette question pour l’arbre couvrant uniforme : la limite locale est un arbre de Bienaymé-Galton-Watson critique, avec une loi de reproduction de Poisson, conditionné à survivre éternellement.

Dans cet exposé, je présenterai tout d’abord le modèle des forêts couvrantes massiques sur un graphe simple quelconque, motivé principalement par le célèbre théorème « matrix-forest » dû à Kirchhoff.

Je montrerai ensuite que, pour le graphe complet, on peut obtenir la loi exacte de l’arbre d’un sommet distingué. Ce résultat implique notamment que, lorsque le nombre de sommets tend vers l’infini, une transition de phase apparaît, qui sépare les masses pour lesquelles la situation est identique à la réponse de Grimmett de celles pour lesquelles un nouvel arbre aléatoire unimodulaire limite apparaît.

Exposé basé principalement sur 2403.11740 (à paraitre), qui est un travail commun avec Nathanaël Enriquez (Orsay & ENS Ulm) et Paul Melotti (Orsay).

Dans ce groupe de travail, l’orateur presentera les grandes lignes de sa recherche actuelle et future.

In this Groupe de travail the speaker will present some ideas for current/future research.