Groupe de travail Probabilités et Statistique

On peut définir une notion de fonction de répartition fractionnaire en utilisant les outils du calcul différentiel fractionnaire. Cette probabilité est en fait l’espérance d’une certaine variable aléatoire. Le schéma d’approximation basé sur théorème central limite permet de mettre en évidence un processus gaussien. On peut représenter ce processus comme une intégrale stochastique d’une fonction par rapport au pont brownien classique.

Les modèles d’équations structurelles à  variables latentes permettent de modéliser des relations entre des variables observables et non observables. Les deux paradigmes actuels d’estimation de ces modèles sont les méthodes de moindres carrés partiels sur composantes et l’analyse de la structure de covariance.

Respectivement, les méthodes d’estimation les plus populaires sont PLS-PM (Partial Least Squares Path Modeling) et CBSEM (Covariance-Based Structural Equation Modeling). Dans ce travail nous proposons une approche d’estimation alternative fondée sur la maximisation par algorithme EM de la vraisemblance globale du modèle tenant compte de l’ensemble des équations le constituant. Cette approche EM est développée pour le cas d’un modèle à  une seule équation structurelle o๠les variables latentes sont des facteurs eux même liés à  de multiples blocs de variables observables. Nous en étudierons les performances sur des données synthétiques et nous proposerons, via une application sur des données réelles environnementales, comment construire pratiquement un modèle et en évaluer la qualité. Enfin, nous présenterons une application de l’approche développée dans le contexte d’un essai clinique en cancérologie pour l’étude de données longitudinales de qualité de vie. Nous montrerons que par la réduction efficace de la dimension des données, l’approche EM simplifie l’analyse longitudinale de la qualité de vie en évitant les tests multiples. Ainsi, elle contribue à  faciliter l’évaluation du bénéfice clinique d’un traitement.

L’exposé porte sur le problème du collectionneur de coupon avec contrainte de complétion rapide. On donnera des éléments de preuve pour deux résultats :
– la limite de la courbe de completion sous la contrainte de completion rapide,
– la formule de Korsunov donnant le nombre d’automates complets accessibles, pour lequel on donnera une démonstration probabiliste simple.
Travail en collaboration avec Anis Amri.

Les modèles de particules sur réseau sont le terrain de jeu idéal pour étudier l’émergence de phénomènes collectifs à  l’échelle macroscopique à  partir de lois microscopiques simples. Il s’agit de modèles stochastiques en espace discret et (souvent) en temps continu, o๠des particules sautent de site en site avec certains taux et selon certaines règles, qui déterminent explicitement l’évolution temporelle de la probabilité de chaque configuration du système (i.e. du vecteur comportant le nombre de particules sur chaque site). La question est alors de savoir comment évoluent certaines observables partielles dans certaines limites, et en particulier de trouver celles dont l’évolution devient autonome.
Je parlerai ici d’une observable en particulier, à  savoir la densité locale moyenne de particules, i.e. le nombre moyen de particules en un point et à  un temps donnée (encore appelé la fonction à  un point) ; les modèles pour lesquels elle admet une équation d’évolution stochastique autonome dans la limite des grandes tailles sont qualifiés d’hydrodynamiques. Après avoir posé le problème, je parlerai de deux types de modèles dans ce contexte (avec certaines contraintes physiques sur les taux de transition) : les modèles proches de l’équilibre dans un premier temps (i.e. dont les taux de transition brisent le bilan détaillé au plus infinitésimalement), pour lesquels il est connu, via la théorie des fluctuations macroscopiques (MFT), qu’ils ont génériquement un comportement hydrodynamique à  la limite des grandes tailles ; et, dans un second temps, les modèles loin de l’équilibre, o๠aucun résultat général n’existe pour le moment. Je montrerai, pour ces derniers, qu’ils peuvent en fait être le lieu de transitions de phases dynamiques (j’expliquerai ce terme) entre des phases hydrodynamiques et des phases o๠les corrélations à  longue distance jouent un rôle majeur (et o๠par conséquent la densité moyenne n’a pas d’évolution autonome). Je conclurai en mentionnant quelques problèmes ouverts liés à  ce problème.

En classification supervisée se pose très vite la question de comment choisir parmi toutes les méthodes disponibles dans la littérature. L’algorithme AdaBoost (pour Adaptive Boosting), découvert par Freund et Schapire à  la fin des années 90 (et qui leur a valu le prix Gödel en 2003) fait partie de ces algorithmes d’apprentissage qui cherchent à  diriger l’échantillon pour améliorer la capacité prédictive d’un classifieur. A tel point que n’importe quel classifieur faible, i.e., avec une capacité prédictive à  peine meilleure que pile ou face, peut devenir aussi fort que souhaité.

Dans cet exposé, nous présenterons quelques résultats concernant l’étude
probabiliste de graphes (ou cartes) planaires aléatoires. Cette théorie, initiée par
Angel et Schramm au début des années 2000, vise à  comprendre les propriétés géométriques
de graphes planaires aléatoires dont la taille tend vers l’infini.
Les travaux de Le Gall et Miermont ont notamment permis de montrer
la convergence de certains modèles vers une surface aléatoire universelle,
la carte brownienne, qui constitue un analogue du mouvement brownien pour la sphère.
Après une introduction à  ces résultats, nous nous intéresserons à  des cartes
planaires aléatoires ayant de grandes faces, appelées cartes stables.

Sur l’exemple de l’équation de Schrödinger, on présentera quelques idées utilisées pour montrer l’existence et l’unicité de solutions. Ensuite on montrera comment on peut améliorer ces résultats à  l’aide de méthodes probabilistes (inégalité de Khintchin, chaos de Wiener, mesures de Gibbs), si l’on munit l’équation de conditions initiales aléatoires.

Sur l’exemple de l’équation de Schrödinger, on présentera quelques idées utilisées pour montrer l’existence et l’unicité de solutions. Ensuite on montrera comment on peut améliorer ces résultats à  l’aide de méthodes probabilistes (inégalité de Khintchin, chaos de Wiener, mesures de Gibbs), si l’on munit l’équation de conditions initiales aléatoires.

On discutera d’anciens et nouveaux résultats concernant le collectionneur de coupon, en lien avec les processus de Poisson, les nombres de Stirling, le schéma d’Euler, et quelques objets combinatoires associés à  ces problèmes.
Travail en collaboration avec Anis Amri.

La théorie statistique de l’apprentissage porte sur trois problèmes d’inférence empirique : la discrimination, la régression et l’estimation de la fonction de densité. Cette présentation se concentre sur la discrimination. Nous exposons les garanties disponibles sur les performances en généralisation des systèmes discriminants (risques garantis), en privilégiant le cas o๠ceux-ci s’appuient sur le concept de marge. L’intervalle de confiance de ces risques garantis dépend de trois paramètres principaux : la taille m de l’échantillon, le nombre C de catégories et la valeur gamma du paramètre de marge. Nous caractérisons cette dépendance en fonction du choix de la fonction de perte.