Groupe de travail Probabilités et Statistique

Quand aura-t-on encore l’occasion d’accueillir à Nancy cette confèrence si renommé?

Alos nous ne pouvons pas la manquer 🙂

Le groupe de travail n’aura pas lieu pour vous permettre la participation à la confèrence qui se tiendra au Centre Prouvé.

+ « Schéma de splitting pour une équation de Schrödinger non linéaire avec dispersion aléatoire » (Renaud Marty)

Nous considérons dans cet exposé une équation de Schrödinger non linéaire avec dispersion aléatoire. Ce terme de dispersion est un processus stochastique continu général qui peut être par exemple défini à partir d’un mouvement brownien fractionnaire.Nous étudions un schéma de splitting pour la résolution numérique de cette équation.Nous établissons des résultats sur l’ordre de convergence du schéma et montrons qu’il préserve l’asymptotique.

+ « Une extension probabiliste de la suite d’Oldenburger-Kolakoski » (Irène Marcovici)

La suite d’Oldenburger-Kolakoski est l’unique suite infinie sur l’alphabet {1,2} qui commence par un 1 et est un point fixe de l’application de codage par plage. Dans cet exposé, nous prendrons un peu de recul par rapport à cette suite bien connue et très étudiée, en introduisant de l’aléa dans le choix des lettres écrites. Cela nous permettra de montrer des résultats portant sur la convergence de la densité de 1 dans les suites ainsi construites. Dans le cas où les lettres sont choisies selon une suite i.i.d. de variables aléatoires ou selon une chaîne de Markov, la densité moyenne de 1 converge. De plus, dans le cas i.i.d., nous arrivons même à démontrer que la densité converge presque sûrement.
Il s’agit d’un travail réalisé en collaboration avec Chloé Boisson et Damien Jamet.

+ « Les convolutions de Bernoulli » (Edouard Strickler)

Prenez un nombre, mutlipliez-le par une constante a < 1,  ajouter lui aléatoirement 1 ou – 1, et recommencez. Une chaîne de Markov ultra-simple ? et pourtant, elle cache de l’auto-similarité, des escaliers du diable, des nombres de Pisot, des résultats d’Erdös, une vallée de la mort, et son lot de mystères…

+ « Cutoff pour le mouvement Brownien sur les sphères«  (Koléhè Coulibaly-Pasquier)

Nous verrons comment l’entrelacement algébrique fait apparaître le flot de courbure moyenne stochastique renormalisé. Après couplage, entre le processus dual et le processus primal, nous présenterons la notion de temps fort stationnaire. Nous verrons qu’au temps ln(n)/n le mouvement Brownien sur la sphère S^(n+1) est brutalement proche (en séparation) de sa mesure invariante.C’est une série de travaux en collaboration avec Laurent Miclo, et Marc Arnaudon.

Le groupe de travail n’aura pas lieu pour que vous alliez au workhop internationale

Stochastic processes, metastability and applications

qui se tiendra à Nancy du 31 mai au 2 juin 2023, organisé par notre collègue Aline Kurtzmann.

Le groupe de travail n’aura pas lieu, à la place vous pouvez participer à la masterclass M2.

Les cours de proba (L. Coutin et I. Kortchemski) ont lieu du mercredi après-midi au vendredi.

This talk deals with mathematical modeling of dynamical systems through branching processes. After a brief introduction to the theory on branching processes, we will focus the attention in two research lines: models based on two-sex branching processes and models based on branching processes to describe the dynamics of specific biological species. Concernig the first, we will provide an overview on some classes of two-sex branching models recently investigated. About the second line, we will present two stochastic models, the first to describe the demographic dynamics of long-lived raptor species, and the second, to describe the probabilistic evolution of complex biological systems. We will show an application of the first model to the study about the demographic dynamics of black vulture colonies in the region of Extremadura (Spain).

L’orateur est invité BIGS.

Le concept de pseudotrajectoires asymptotiques a été développé à la fin des années 90 par M. Benaïm et M. Hirsch. Pour mieux comprendre la dynamique des algorithmes d’approximation stochastique, ils ont eu l’idée fructueuse d’intégrer aux techniques probabilistes classiques des notions de systèmes dynamiques.

Précisément, nous allons nous rendre compte dans le cadre de ce groupe de travail que la propriété de pseudotrajectoire asymptotique (que je n’écrirai pas ici pour maintenir le suspense) peut donner l’impression d’être relativement peu exploitable, de prime abord. Même si des raisonnements probabilistes à notre portée peuvent nous permettre d’obtenir cette propriété pour des processus raisonnables, elle reste un brin mystique.

C’est sans compter sur l’ingéniosité de Benaïm et Hirsch, qui montrent que cette propriété est en fait suffisante pour dire beaucoup de choses sur le comportement asymptotique de nos algorithmes d’approximation stochastique. Il est possible de relier le comportement limite de ces trajectoires aléatoires aux ensembles de points intrinsèquement récurrents en chaîne pour un certain flot déterministe.

Après avoir rappelé la définition et quelques propriétés des opérateurs positifs sur les treillis de Banach, je m’intéresserai aux opérateurs positifs quasi-compacts : il s’agit d’opérateurs qui, à une « petite » perturbation près, se comportent comme une matrice de taille finie. Un résultat particulièrement intéressant de cette propriété est qu’elle se transfert aisément d’un opérateur à un autre par des arguments de domination. Nous verrons comment appliquer ces résultats aux processus sous-markoviens pour obtenir des résultats de convergence des processus conditionnés à la non-absorption.

Suivre une géodésique, c’est avancer tout droit sur un objet courbe. Les géodésiques sur les surfaces à courbure -1 (dites “hyperboliques”) sont les orbites d’un système dynamique chaotique étudié depuis le début du XXème siècle : le flot géodésique. Comprendre la trajectoire de chaque orbite est illusoire vu la sensibilité aux conditions initiales. En revanche, l’étude des probabilités invariantes par le flot nous donne de précieux renseignements sur son comportement de long terme. Dans cet exposé, je présenterai l’étude d’un problème à l’énoncé simple : combien y a-t-il de chemin (géodésique) qui part de x et revient en x en un temps au plus T ? Nous verrons que la réponse passe par des notions d’entropies, et qu’elle est crucialement liée à la compréhension de la mesure d’entropie maximale pour le flot.

Suivre une géodésique, c’est avancer tout droit sur un objet courbe. Les géodésiques sur les surfaces à courbure -1 (dites « hyperboliques ») sont les orbites d’un système dynamique chaotique étudié depuis le début du XXème siècle : le flot géodésique. Comprendre la trajectoire de chaque orbite est illusoire vu la sensibilité aux conditions initiales. En revanche, l’étude des probabilités invariantes par le flot nous donne de précieux renseignements sur son comportement de long terme.

Dans cet exposé, je présenterai l’étude d’un problème à l’énoncé simple : combien y a-t-il de chemin (géodésique) qui part de x et revient en x en un temps au plus T ? Nous verrons que la réponse passe par des notions d’entropies, et qu’elle est crucialement liée à la compréhension de la mesure d’entropie maximale pour le flot.

Le groupe de travail s’étalera sur deux séances: celle ci est la deuxième.

Suivre une géodésique, c’est avancer tout droit sur un objet courbe. Les géodésiques sur les surfaces à courbure -1 (dites « hyperboliques ») sont les orbites d’un système dynamique chaotique étudié depuis le début du XXème siècle : le flot géodésique. Comprendre la trajectoire de chaque orbite est illusoire vu la sensibilité aux conditions initiales. En revanche, l’étude des probabilités invariantes par le flot nous donne de précieux renseignements sur son comportement de long terme.

Dans cet exposé, je présenterai l’étude d’un problème à l’énoncé simple : combien y a-t-il de chemin (géodésique) qui part de x et revient en x en un temps au plus T ? Nous verrons que la réponse passe par des notions d’entropies, et qu’elle est crucialement liée à la compréhension de la mesure d’entropie maximale pour le flot.

Le groupe de travail s’étalera sur deux séances: celle ci est la première.