Groupe de travail Probabilités et Statistique

L’objectif de ces deux séances est de présenter la théorie de la persistance stochastique et les résultats récemment obtenus par Michel Benaïm (preprint 2018).
On s’intéresse à  un processus de Markov (type EDS ou PDMP) modélisant une population et laissant invariant un ensemble (typiquement, un point, ou une face de l’orthant positif) qui représente l’extinction d’une ou plusieurs espèces.
L’hypothèse d’invariance implique que le processus n’est pas absorbé en temps fini par l’ensemble d’extinction. Les outils développés par Michel Benaïm permettent d’étudier le processus au voisinage de l’ensemble d’extinction, et ainsi d’obtenir des conditions suffisantes pour l’extinction (convergence vers l’ensemble invariant) ou la persistance (concentration des trajectoires à  une certaine distance de l’ensemble d’extinction). L’hypothèse principale est l’existence d’une fonction de type Lyapunov, qui permet de contrôler le processus au voisinage du bord, et les résultats se lisent sur le signe d’exposants de Lyapunov liés à  cette fonction.
Dans la partie 1, nous verrons les définitions et les principaux résultats, ainsi que quelques exemples d’application.
Dans la partie 2, nous verrons les idées de preuves des principaux résultats et d’autres exemples.

L’objectif de ces deux séances est de présenter la théorie de la persistance stochastique et les résultats récemment obtenus par Michel Benaïm (preprint 2018).
On s’intéresse à  un processus de Markov (type EDS ou PDMP) modélisant une population et laissant invariant un ensemble (typiquement, un point, ou une face de l’orthant positif) qui représente l’extinction d’une ou plusieurs espèces.
L’hypothèse d’invariance implique que le processus n’est pas absorbé en temps fini par l’ensemble d’extinction. Les outils développés par Michel Benaïm permettent d’étudier le processus au voisinage de l’ensemble d’extinction, et ainsi d’obtenir des conditions suffisantes pour l’extinction (convergence vers l’ensemble invariant) ou la persistance (concentration des trajectoires à  une certaine distance de l’ensemble d’extinction). L’hypothèse principale est l’existence d’une fonction de type Lyapunov, qui permet de contrôler le processus au voisinage du bord, et les résultats se lisent sur le signe d’exposants de Lyapunov liés à  cette fonction.
Dans la partie 1, nous verrons les définitions et les principaux résultats, ainsi que quelques exemples d’application.
Dans la partie 2, nous verrons les idées de preuves des principaux résultats et d’autres exemples.

The talk comprises two parts. In the first one, the problem of optimal
stopping is introduced, and some classical results are presented and proved in certain
detail, after a discussion of several different existing approaches.
In the second one, some new results are presented, concerning diffusions with discontinuous
coefficients. In this case, new phenomena concerning the classical solutions appear.

le démon de Solomonoff

Nous aborderons la loi des grands nombres pour des processus de branchement en temps discret, vu comme des composés de noyau de transition. L’exposé commencera par quelques exemples simples, présentera le formalisme utilisé, et abordera la formule many-to-one, un critère de type x log x pour l’uniforme intégrabilité de la martingale de Biggins et, enfin, un critère de type R-positivité pour la loi des grands nombres.

Le but est de déterminer la distribution d’un arbre couvrant d’un graphe G sur l’ensemble des arêtes de G.
Ceci est fait via le théorème de Kirchhoff pour la distribution marginale et le théorème de transfert de courant pour la distribution totale.

Le but est de déterminer la distribution d’un arbre couvrant d’un graphe G sur l’ensemble des arêtes de G.
Ceci est fait via le théorème de Kirchhoff pour la distribution marginale et le théorème de transfert de courant pour la distribution totale.