Groupe de travail Probabilités et Statistique

Après avoir rappelé la définition et quelques propriétés des opérateurs positifs sur les treillis de Banach, je m’intéresserai aux opérateurs positifs quasi-compacts : il s’agit d’opérateurs qui, à une « petite » perturbation près, se comportent comme une matrice de taille finie. Un résultat particulièrement intéressant de cette propriété est qu’elle se transfert aisément d’un opérateur à un autre par des arguments de domination. Nous verrons comment appliquer ces résultats aux processus sous-markoviens pour obtenir des résultats de convergence des processus conditionnés à la non-absorption.

Suivre une géodésique, c’est avancer tout droit sur un objet courbe. Les géodésiques sur les surfaces à courbure -1 (dites “hyperboliques”) sont les orbites d’un système dynamique chaotique étudié depuis le début du XXème siècle : le flot géodésique. Comprendre la trajectoire de chaque orbite est illusoire vu la sensibilité aux conditions initiales. En revanche, l’étude des probabilités invariantes par le flot nous donne de précieux renseignements sur son comportement de long terme. Dans cet exposé, je présenterai l’étude d’un problème à l’énoncé simple : combien y a-t-il de chemin (géodésique) qui part de x et revient en x en un temps au plus T ? Nous verrons que la réponse passe par des notions d’entropies, et qu’elle est crucialement liée à la compréhension de la mesure d’entropie maximale pour le flot.

Suivre une géodésique, c’est avancer tout droit sur un objet courbe. Les géodésiques sur les surfaces à courbure -1 (dites « hyperboliques ») sont les orbites d’un système dynamique chaotique étudié depuis le début du XXème siècle : le flot géodésique. Comprendre la trajectoire de chaque orbite est illusoire vu la sensibilité aux conditions initiales. En revanche, l’étude des probabilités invariantes par le flot nous donne de précieux renseignements sur son comportement de long terme.

Dans cet exposé, je présenterai l’étude d’un problème à l’énoncé simple : combien y a-t-il de chemin (géodésique) qui part de x et revient en x en un temps au plus T ? Nous verrons que la réponse passe par des notions d’entropies, et qu’elle est crucialement liée à la compréhension de la mesure d’entropie maximale pour le flot.

Le groupe de travail s’étalera sur deux séances: celle ci est la deuxième.

Suivre une géodésique, c’est avancer tout droit sur un objet courbe. Les géodésiques sur les surfaces à courbure -1 (dites « hyperboliques ») sont les orbites d’un système dynamique chaotique étudié depuis le début du XXème siècle : le flot géodésique. Comprendre la trajectoire de chaque orbite est illusoire vu la sensibilité aux conditions initiales. En revanche, l’étude des probabilités invariantes par le flot nous donne de précieux renseignements sur son comportement de long terme.

Dans cet exposé, je présenterai l’étude d’un problème à l’énoncé simple : combien y a-t-il de chemin (géodésique) qui part de x et revient en x en un temps au plus T ? Nous verrons que la réponse passe par des notions d’entropies, et qu’elle est crucialement liée à la compréhension de la mesure d’entropie maximale pour le flot.

Le groupe de travail s’étalera sur deux séances: celle ci est la première.

À l’instar du triangle de Pascal, d’autres triangles combinatoires (Stirling, Euler) ont des (sortes de) formules de Pascal. On verra au cours de cet exposé comment associer à chacune de ces formules de Pascal, de manière naturelle, une chaîne de Markov liée à un processus stochastique bien connu. Un comportement asymptotique « explicite » de la chaîne de Markov en découle.

Ce groupe de travail à deux voix est basé sur un travail commun avec Alexis Zevio (étudiant à la prepa agrég).

En probabilités, dans les situations où deux variables aléatoires X et Y (à valeurs dans des espaces quelconques) sont “presque” indépendantes sans l’être complètement pour autant (par exemple, entre deux valeurs éloignées d’une chaine de Markov ergodique), une question naturelle est de quantitifer cette dépendance partielle. Parmi les différentes mesures de dépendances conçues par les mathématiciens , l’une est particulièrement intéressante : il s’agit du coefficient de ρ-mélange, qu’on peut définir comme le coefficient de corrélation de Pearson maximal pouvant être obtenu entre deux v.a. réelles de la forme resp. f(X) et g(Y). Le ρ-mélange possède aussi d’autres définitions équivalentes que je présenterai brièvement, et qui en font dès le départ un outil particulièrement naturel.

Dans cet exposé, je présenterai la propriété dite de tensorisation, qui est spécifique au ρ-mélange, et rend cet outil particulièrement bien adapté pour borner la dépendance entre des v.a. “compliquées” faites d’une collection de v.a. plus simples. Une application où cette propriété est particulièrement bienvenue concerne l’étude de modèles de physique statistique comme celui d’Ising (non critique), où les variables aléatoires de base (appelées « spins ») sont indexées par ℤd, et où la corrélation entre deux spins individuels tend vers zéro lorsque la distance augmente. Une question qu’on aimerait alors résoudre est : que peut-on dire de la corrélation entre deux groupes de spins ; et en particulier, y a-t-il des bornes indépendantes de la taille de ces groupes…?

Je raconterai ensuite quelles difficultés soulève le résultat “de base” sur la tensorisation du ρ-mélange, et comment, dans un de mes travaux, j’ai établi un résultat de tensorisation généralisée permettant l’application effective de la tensorisation en physique statistique. Je conclurai en présentant quelques autres approches de l’idée de mélange (au sens de « indépendance asymptotique ») en physique statistique, et des liens qu’on peut espérer établir entre ces approches et celle par ρ-mélange.

En fait, cet exposé est en lien avec celui que j’avais donné le 12 janvier, où j’avais présenté un panorama des principales méthodes de quantification de l’idée de dépendance partielle (ainsi que des implications entre les unes et les autres) : le contenu de cette séance-ci sera, en substance, constitué par les points que je n’ai pas eu le temps de vous présenter en janvier. Néanmoins, j’ai préparé ce second exposé de sorte qu’il soit totalement indépendant du premier : vous pourrez donc le suivre sans problème même si vous n’étiez pas là en janvier ! \uD83D\uDE07

Nous nous intéressons ici au modèle de graphes aléatoires d’Erdos-Renyi G(n,p), où les sommets sont étiquetés de 1 à n et chaque arête est prise indépendamment avec probabilité p. Un type de question classique sur ce modèle consiste à demander si une propriété $\phi$ — par exemple, « le graphe contient un triangle » ou « le graphe est connexe » — est satisfaite ou non à la limite ; ou de manière plus générale, quelle est la limite de la probabilité que $G(n,p)$ vérifie $\phi$ ? En prenant du recul, on peut se demander, si, quand $\phi$ est une propriété « naturelle » (dans un sens que l’on précisera), cette limite existe toujours et si elle peut prendre n’importe quelle valeur (ou par exemple seulement 0 ou 1). Ceci amène à la notion de loi de convergence (si la limite existe toujours) ou de loi de 0/1 (si la limite vaut toujours 0 ou 1).

Je présenterai quelques résultats de ce type (pour G(n,p) et pour un modèle d’arbres aléatoires), et essayerai d’expliquer les idées derrière, venant de la théorie des modèles finis (en particulier le jeu combinatoire d’Ehrenfeucht-Fraïssé), de l’algorithmique (techniques de réduction en complexité) et de la combinatoire analytique (universalité des singularités en racine dans les modèles d’arbres).

(Basé sur le livre « Strange logic of random graphs », Spencer, 2001, et l’article de Woods « Colouring Rules for Finite Trees and Probabilities of Monadic Second Order Sentences », 1997).
Ce groupe de travail s’articule sur deux séances : celle ci est la deuxième partie.

Nous nous intéressons ici au modèle de graphes aléatoires d’Erdos-Renyi G(n,p), où les sommets sont étiquetés de 1 à n et chaque arête est prise indépendamment avec probabilité p. Un type de question classique sur ce modèle consiste à demander si une propriété $\phi$ — par exemple, « le graphe contient un triangle » ou « le graphe est connexe » — est satisfaite ou non à la limite ; ou de manière plus générale, quelle est la limite de la probabilité que $G(n,p)$ vérifie $\phi$ ? En prenant du recul, on peut se demander, si, quand $\phi$ est une propriété « naturelle » (dans un sens que l’on précisera), cette limite existe toujours et si elle peut prendre n’importe quelle valeur (ou par exemple seulement 0 ou 1). Ceci amène à la notion de loi de convergence (si la limite existe toujours) ou de loi de 0/1 (si la limite vaut toujours 0 ou 1).

Je présenterai quelques résultats de ce type (pour G(n,p) et pour un modèle d’arbres aléatoires), et essayerai d’expliquer les idées derrière, venant de la théorie des modèles finis (en particulier le jeu combinatoire d’Ehrenfeucht-Fraïssé), de l’algorithmique (techniques de réduction en complexité) et de la combinatoire analytique (universalité des singularités en racine dans les modèles d’arbres).

(Basé sur le livre « Strange logic of random graphs », Spencer, 2001, et l’article de Woods « Colouring Rules for Finite Trees and Probabilities of Monadic Second Order Sentences », 1997).
Ce groupe de travail s’articule sur deux séances : celle ci est la première partie.

Attention: changement d’horaire: horaire du seminaire. Une visio sera mise en place.
The growth-fragmentation equation is a well-known model for modelling the dynamics of a size-structured
bacterial population. In this presentation, we will focus on a non-linear version of this equation with a
diffusion term and coupled to the dynamics of a resource. This new model describes the growth of a
bacterial population in a continuous medium, and structured according to the expression of a protein
involved in the individual metabolism. We will establish the existence of the solution by showing that
this model can be seen as the large population limit of a stochastic individual-based model. We will
then show the uniqueness of this solution and some qualitative results thanks to the properties of the
semi-group of the stochastic process that describes the protein expression of a typical individual in the
population.

L’orateur est invité BIGS.

L’indépendance est peut-être le concept le plus central de toute la théorie des probabilités. Or, dans nombre de situations (à la fois modélisatoires et théoriques), l’indépendance entre certaines variables aléatoires ou tribus n’est pas réalisée parfaitement, mais seulement approximativement ou asymptotiquement… C’est donc un enjeu tout à fait naturel que de chercher un moyen d’évaluer quantitativement le niveau de dépendance entre deux v. a., afin de donner un sens précis à l’idée qu’elles soient “presque indépendantes”. Plus exactement, dans cet exposé nous présenterons différentes manière de quantifier la dépendance entre deux (sous-)tribus sur un même espace probabilisé.

Nous verrons qu’il peut exister différentes définitions naturelles pour quantifier la dépendance, non équivalentes les unes aux autres, mais ayant chacune des propriétés intéressantes. Nous verrons aussi comment, dans les contextes où il s’agit de tensoriser des résultats pour monter en dimension, le coefficient de ρ-mélange se distingue de ses concurrents. J’en profiterai pour présenter au passage deux résultat de mon cru autour du ρ-mélange.