Probabilities and Statistic working group

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Les modèles de particules sur réseau sont le terrain de jeu idéal pour étudier l’émergence de phénomènes collectifs à  l’échelle macroscopique à  partir de lois microscopiques simples. Il s’agit de modèles stochastiques en espace discret et (souvent) en temps continu, o๠des particules sautent de site en site avec certains taux et selon certaines règles, qui déterminent explicitement l’évolution temporelle de la probabilité de chaque configuration du système (i.e. du vecteur comportant le nombre de particules sur chaque site). La question est alors de savoir comment évoluent certaines observables partielles dans certaines limites, et en particulier de trouver celles dont l’évolution devient autonome.
Je parlerai ici d’une observable en particulier, à  savoir la densité locale moyenne de particules, i.e. le nombre moyen de particules en un point et à  un temps donnée (encore appelé la fonction à  un point) ; les modèles pour lesquels elle admet une équation d’évolution stochastique autonome dans la limite des grandes tailles sont qualifiés d’hydrodynamiques. Après avoir posé le problème, je parlerai de deux types de modèles dans ce contexte (avec certaines contraintes physiques sur les taux de transition) : les modèles proches de l’équilibre dans un premier temps (i.e. dont les taux de transition brisent le bilan détaillé au plus infinitésimalement), pour lesquels il est connu, via la théorie des fluctuations macroscopiques (MFT), qu’ils ont génériquement un comportement hydrodynamique à  la limite des grandes tailles ; et, dans un second temps, les modèles loin de l’équilibre, o๠aucun résultat général n’existe pour le moment. Je montrerai, pour ces derniers, qu’ils peuvent en fait être le lieu de transitions de phases dynamiques (j’expliquerai ce terme) entre des phases hydrodynamiques et des phases o๠les corrélations à  longue distance jouent un rôle majeur (et o๠par conséquent la densité moyenne n’a pas d’évolution autonome). Je conclurai en mentionnant quelques problèmes ouverts liés à  ce problème.

En classification supervisée se pose très vite la question de comment choisir parmi toutes les méthodes disponibles dans la littérature. L’algorithme AdaBoost (pour Adaptive Boosting), découvert par Freund et Schapire à  la fin des années 90 (et qui leur a valu le prix Gödel en 2003) fait partie de ces algorithmes d’apprentissage qui cherchent à  diriger l’échantillon pour améliorer la capacité prédictive d’un classifieur. A tel point que n’importe quel classifieur faible, i.e., avec une capacité prédictive à  peine meilleure que pile ou face, peut devenir aussi fort que souhaité.

Dans cet exposé, nous présenterons quelques résultats concernant l’étude
probabiliste de graphes (ou cartes) planaires aléatoires. Cette théorie, initiée par
Angel et Schramm au début des années 2000, vise à  comprendre les propriétés géométriques
de graphes planaires aléatoires dont la taille tend vers l’infini.
Les travaux de Le Gall et Miermont ont notamment permis de montrer
la convergence de certains modèles vers une surface aléatoire universelle,
la carte brownienne, qui constitue un analogue du mouvement brownien pour la sphère.
Après une introduction à  ces résultats, nous nous intéresserons à  des cartes
planaires aléatoires ayant de grandes faces, appelées cartes stables.

Sur l’exemple de l’équation de Schrödinger, on présentera quelques idées utilisées pour montrer l’existence et l’unicité de solutions. Ensuite on montrera comment on peut améliorer ces résultats à  l’aide de méthodes probabilistes (inégalité de Khintchin, chaos de Wiener, mesures de Gibbs), si l’on munit l’équation de conditions initiales aléatoires.

Sur l’exemple de l’équation de Schrödinger, on présentera quelques idées utilisées pour montrer l’existence et l’unicité de solutions. Ensuite on montrera comment on peut améliorer ces résultats à  l’aide de méthodes probabilistes (inégalité de Khintchin, chaos de Wiener, mesures de Gibbs), si l’on munit l’équation de conditions initiales aléatoires.

On discutera d’anciens et nouveaux résultats concernant le collectionneur de coupon, en lien avec les processus de Poisson, les nombres de Stirling, le schéma d’Euler, et quelques objets combinatoires associés à  ces problèmes.
Travail en collaboration avec Anis Amri.

La théorie statistique de l’apprentissage porte sur trois problèmes d’inférence empirique : la discrimination, la régression et l’estimation de la fonction de densité. Cette présentation se concentre sur la discrimination. Nous exposons les garanties disponibles sur les performances en généralisation des systèmes discriminants (risques garantis), en privilégiant le cas o๠ceux-ci s’appuient sur le concept de marge. L’intervalle de confiance de ces risques garantis dépend de trois paramètres principaux : la taille m de l’échantillon, le nombre C de catégories et la valeur gamma du paramètre de marge. Nous caractérisons cette dépendance en fonction du choix de la fonction de perte.

Une égalité due à  Spitzer relie la loi du maximum d’une marche aléatoire à  celle
de ses sommes partielles. En 1960, Glenn Baxter donne une preuve élégante de
cette égalité probabiliste, en la réduisant tout d’abord à  un problème d’analyse,
puis à  un problème algébrique qui résolu par des arguments de nature combinatoire.
L’idée principale, qui donna naissance aux algèbre de Rota-Baxter, est de généraliser
une identité de produit d’intégrales et de l’appliquer à  la résolution d’équation linéaire.

G. Baxter, An analytic problem whose solution follows from a simple algebraic identity,
Pacific J. Math. 10 (1960), 731–42.

Cet expose continue la suite initiee cette annee sur la definition et la caracterisation des processus ponctuels. Apres un rappel de ce qui a ete presente dans les seances precedentes, l’expose va continuer avec la description des liens entre la loi d’un processus ponctuel et les mesures de Palm associees. Pour cela, apres une discution sur les implications du theoreme de Slyvniak-Mecke, l’intensite conditionnelle, le theoreme de Georgii-Nguyen-Zessin vont être présentées, pour aboutir finalement à  la caracterisation differentielle d’un processus ponctuel de Gibbs.