La dynamique des particules ponctuelles est -dans l’approche hamiltonienne- décrite par les équations de Hamilton et encodée dans la fonction de Hamilton (possiblement dépendante du temps) sur une variété symplectique.
Cette approche a donne lieu à une multitude des théories (et algorithmes) en dynamique (théorie de Hamilton-Jacobi, systèmes intégrables, théorie KAM, …; plus tard la quantification géométrique et la topologie symplectique; intégrateurs symplectiques; …).

Depuis longtemps, on cherche à généraliser cette approche à la théorie de champs classique, c-à-d à generaliser à des situations ou l’inconnue est une application à valeurs d’un espace vectoriel ou d’une variété qui dependent
d’un paramètre multidimensionnel. Une possibilité tres prometteuse y est donnée par des espaces de multiphases des physiciens, exemples des
variétés multisymplectiques. Cette géométrie (multisymplectique) généralise la géométrie symplectique en utilisant les méthodes puissantes récentes de la géométrie dites supérieures, basees sur l’algèbre homologue, les méthodes homotopiques et des catégories.

Dans ce projet de these, on va utiliser les généralisations naturelles des équations de Hamilton, à savoir les équations de Hamilton-Volterra et les équations de Hamilton-DeDonder-Weyl, pour étudier la dynamique des théories de champs classiques. Nous aborderons cette classe d’EDP importante dont l’étude par des méthodes analytiques classiques semble être sans espoir par une voie géométrique (via des multichamps et des distributions tangentielles). Un aspect (non-négligeable) du projet sera l’étude des exemples pertinents pour la physique et la mathématique.