Gieseker et Maruyama ont construit des espaces de modules de faisceaux semistables au dessus des variétés projectives polarisées de dimension supérieure a un. Le changement de la polarisation entraine en général une variation des espaces de modules correspondants, variation qui a été l’objet d’études approfondies en dimension deux. La poursuite de ces études en dimension supérieure s’est heurtée a l’apparition de façon essentielle des polarisations irrationnelles pour lesquelles même une construction des espaces de modules n’était pas disponible. Dans cet exposé nous présentons un travail en commun avec Daniel Greb et Julius Ross, dans lequel nous introduisons et étudions une nouvelle notion de stabilité qui nous permet de résoudre ces problèmes de construction et de variation au moins en dimension trois. Les nouveaux espaces de modules apparaissent comme des sous-schémas des espaces de modules de représentations de carquois.

Vera Serganova

The goal of this lecture is to show interplay between supersymmetry and tensor categories. The main idea of supersymmetry is to equip all objects with parity ( [latex]mathbf{Z}_2[/latex]-grading) and modify usual identities by so called sign rule. Original motivation comes from physics and topology, for example, a complex of differential forms on a manifold is a supermanifold and De Rham differential can be realized as a vector field on this super manifold. One way to approach supersymmetry is via rigid symmetric tensor categories.

After elementary introduction to supersymmetry and tensor categories, I will formulate theorem of Deligne that any rigid symmetric tensor category satisfying certain finiteness conditions is in fact the category of representations of a supergroup.

Then I illustrate how both theories enrich each other on two examples:

1. Decomposition of tensors in superspace;
2. Construction of universal symmetric tensor categories and proof of a conjecture of Deligne using results of representation theory of supergroups.