Les différences finies compactes, introduites par Lothar Collatz dès 1951 produisent des schémas d’ordre élevé utiles dans certains domaines de la physique : mécanique des fluides, acoustique, chimie ab initio etc. Le calcul des coefficients de ces méthodes se fait grâce aux formules de Taylor mais peut aussi faire appel aux Approximants de Padé ou aux polynômes symétriques. Ces schémas appliqués à  l’équation de Poisson et associés à  des algorithmes multigrilles comptent parmi les meilleurs solveurs d’équations elliptiques.

This talk summarizes joint works by the speaker and Anne-Sophie BonnetBen Dhia, Lucas Chesnel, Camille Carvalho and Juan-Pablo Borthagaray on how to solve problems with discontinuous, sign-changing coefficients. In electromagnetic theory, the effective response of specifically designed materials is modeled by strictly negative coefficients: these are the so-called negative materials. Transmission problems with discontinuous, sign-changing coefficients then occur in the presence of negative materials surrounded by classical materials. For general geometries, establishing Fredholmness of these transmission problems is well-understood thanks to the T-coercivity approach [2]. Let $sigma$ be a parameter that is strictly positive in some part of the computational domain, and strictly negative elsewhere. We focus on the scalar source problem: find $u$ such that $mathrm{div}sigma nabla u – omega^2 u = f $ plus boundary condition, where $f$ is some data and $omega$ is the pulsation. Denoting by $sigma^+$ the strictly positive value, and by $sigma^-$ the strictly negative value, one can prove that there exists a critical interval $I_sigma$, such that the scalar source problem is well-posed in the Fredholm sense if, and only, if, the ratio $sigma^-/sigma^+$ lies outside the critical interval [2]. One may derive similar results for the related eigenvalue problem [4]. The shape of the interface separating the two materials must be taken into account to solve the problems numerically. For a plane interface, there exist meshing rules that guarantee an optimal convergence rate for the finite element approximation. We propose a new treatment at the corners of the interface which allows to design meshing rules for an arbitrary polygonal interface and then recover standard error estimates. This treatment relies on the use of simple geometrical transforms to define the meshes. Numerical results illustrate the importance of this new design [5, 1]. In a last part (time permitting), we discuss the extension of those results to nonlocal problems with discontinuous, sign-changing coefficients [3]. References : [1] A.-S. Bonnet-Ben Dhia, C. Carvalho, P. Ciarlet Jr., Mesh requirements for the finite element approximation of problems with sign-changing coefficients, Numer. Math. (To appear). [2] A.-S. Bonnet-Ben Dhia, L. Chesnel, P. Ciarlet Jr., T-coercivity for scalar interface problems between dielectrics and metamaterials, Math. Mod. Num. Anal., 46 (2012), pp. 1363–1387. [3] J.P. Borthagaray, P. Ciarlet Jr., Nonlocal models for interface problems between dielectrics and metamaterials, Proceedings of the Metamaterials’2017 Conference, Marseille, France, IEEE (To appear). [4] C. Carvalho, L. Chesnel, P. Ciarlet Jr., Eigenvalue problems with signchanging coefficients, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 355 (2017), pp. 671– 675. [5] L. Chesnel, P. Ciarlet Jr., T-coercivity and continuous Galerkin methods: application to transmission problems with sign changing coefficients, Numer. Math., 124 (2013), pp. 1–29.

Élise Janvresse (Université de Picardie)

Résumé : Il est bien connu que les suites de Fibonacci croissent exponentiellement vite. En 2000, Viswanath a introduit les suites de Fibonacci aléatoires, définies par la relation de récurrence suivante :

F(n+1)= F(n)±F(n-1)

où le signe + ou – est donné par une suite de tirages à pile ou face.
Nous nous intéresserons dans cet exposé à la croissance des suites de Fibonacci aléatoires et de leurs généralisations.

Élise Janvresse est une spécialiste de théorie ergodique et probabilités. Après s’être intéressée au comportement asymptotique des systèmes de particules, son spectre scientifique s’est élargi aux suites de Fibonacci aléatoires, loi de Benford, marches aléatoires sur la sphère et le groupe orthogonal, applications au traitement d’images cérébrales, suspensions de Poisson et systèmes dynamiques en mesure infinie parmi d’autres sujets.

Elle est aussi une excellente vulgarisatrice, auteure de plusieurs livres, exposés grand public et articles dans de nombreux magazines.