A certaines équations de Schrödinger non-linéaires (NLS), on peut associer une mesure de Gibbs invariante basée sur l’énergie correspondante. C’est l’ingrédient de base de l’approche euclidienne en théorie constructive des champs quantiques, ainsi que l’asymptote naturelle pour l’équation de la chaleur non-linéaire stochastique. Nous discuterons d’une certaine limite de champ moyen connectant ces mesures et les états d’équilibre du modèle quantique à  N corps sous-jacent. Plus spécifiquement, nous traiterons du cas le plus simple o๠une renormalisation est nécessaire pour la définition de la mesure de Gibbs: deux dimensions d’espace et interactions régulières. travail commun avec Mathieu Lewin (Paris-Dauphine) et Phan Thà nh Nam (LMU, Munich)

Étant donnée une équation différentielle linéaire, une question
importante est de savoir si celle-ci admet une (unique) solution. Un
problème un peu moins contraignant est de se demander si l’équation est Fredholm, c’est à dire « presque inversible » (dans un sens qu’on
précisera). Mon but est de montrer que cette question conduit
naturellement à étudier certaines algèbres d’opérateurs (appelées (C^*)-algèbres) qui ont une structure très riche. On verra que quand
on regarde une équation différentielle sur (mathbb{R}^n), la (C^*)-algèbre associée
est commutative, ce qui fournit une réponse complète au problème.
J’essaierai d’exposer les questions plus générales qui restent ouvertes
lorsqu’on étudie des espaces moins réguliers.

François Baccelli (ENS Paris)

Résumé :

L’exposé portera sur les dynamiques déterministes sur des graphes aléatoires infinis. Une telle dynamique peut être vue comme un ensemble de règles de navigation sur les noeuds du graphe, qui sont des fonctions de la seule géométrie locale du graphe enraciné. Nous nous concentrerons sur des graphes aléatoires qui sont unimodulaires (vérifient les équations de transport de masse) et sur les règles de navigation qui sont covariantes (invariantes par isomorphismes de graphes enracinés).

Nous donnerons une classification de ces dynamiques basée sur les propriétés de leurs variétés stables. Cette classification est fondée sur l’identification d’une famille d’arbres aléatoires critiques dont les propriétés fondamentales seront présentées.

Ces notions seront illustrées par des exemples issus de la théorie des processus ponctuels, des processus de branchement, de la théorie des graphes aléatoires infinis et de celle des processus aléatoires.

Travail en collaboration avec M.-O. Haji-Mirsadeghi et A. Khezeli.