Évènements

L’objectif de ces deux séances est de présenter la théorie de la persistance stochastique et les résultats récemment obtenus par Michel Benaïm (preprint 2018).
On s’intéresse à  un processus de Markov (type EDS ou PDMP) modélisant une population et laissant invariant un ensemble (typiquement, un point, ou une face de l’orthant positif) qui représente l’extinction d’une ou plusieurs espèces.
L’hypothèse d’invariance implique que le processus n’est pas absorbé en temps fini par l’ensemble d’extinction. Les outils développés par Michel Benaïm permettent d’étudier le processus au voisinage de l’ensemble d’extinction, et ainsi d’obtenir des conditions suffisantes pour l’extinction (convergence vers l’ensemble invariant) ou la persistance (concentration des trajectoires à  une certaine distance de l’ensemble d’extinction). L’hypothèse principale est l’existence d’une fonction de type Lyapunov, qui permet de contrôler le processus au voisinage du bord, et les résultats se lisent sur le signe d’exposants de Lyapunov liés à  cette fonction.
Dans la partie 1, nous verrons les définitions et les principaux résultats, ainsi que quelques exemples d’application.
Dans la partie 2, nous verrons les idées de preuves des principaux résultats et d’autres exemples.

Cet exposé portera sur la dynamique en temps long de certains processus de Markov homogènes en temps. Pour ces processus auxquels sont associés des événements d’extinction, notre intérêt se tournera vers les trajectoires survivantes. La première question que j’aborde est l’existence et la possible unicité d’une distribution quasi-stationaire. Je reprends pour cela l’approche de Champagnat et Villemonais, dont j’esquisserai le lien avec la récurrence de Harris. Une étape clé de la preuve est alors de savoir comparer la survie à  long terme entre différentes conditions initiales.

Pour les processus en temps et espace continus à  trajectoires discontinues, un argument spécifique est nécessaire pour gérer les trajectoires pathologiques (problématiques à  court terme mais non représentatives à  long terme). La méthode que je vais vous décrire est sans doute bien technique, mais avec sa flexibilité, elle me semble très efficace. Je l’illustrerai sur quelques exemples : processus à  sauts purs ou déterministes par morceaux, voire combinant des sauts à  une diffusion.

Si le temps le permet, j’évoquerai aussi un lien direct entre quasi-stationarité, quasi-ergodicité et grandes déviations.

For an arbitrary morphism of (super)manifolds, the pull-back is a linear map of the space of functions. In 2014 Th.Voronov have introduced thick morphisms of (super)manifolds which define a generally non-linear pull-back of functions. This construction was introduced as an adequate tool to describe L-infinity morphisms of algebras of functions provided with the structure of a homotopy Poisson algebra. It turns out that if you go down from `heaven to earth’, and consider usual (not super!) manifolds, then we come to constructions which have natural interpretation in classical and quantum mechanics. In particular in this case the geometrical object which defines the thick diffeomorphism becomes an action of classsical mecanics, and pull-back of the thick diffeomorphism with a quadratic action give a spinor representation. I will define a thick morphism and will tell shortly about their application in homotopy Poisson algebras. Then I will discuss the relation of thick morphisms with notions such as the action in classical mechanics and spinors. The talk is based on the work: « Thick morphisms of supermanifolds, quantum mechanics and spinor representation’, J.Geom. and Phys., 2019, article Number: 103540, https://doi.org/10.1016/ j.geomphys.2019.103540, arXiv:1909.00290 Authors: Hovhannes Khudaverdian, Theodore Voronov

Résumé