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I will present some recent results obtained in collaboration with Roberto Feola. I shall prove that small solutions of quasilinear equations on the circle exist for long time (depending on the size of the initial condition) if the equation enjoys an algebraic structure. In this directions I will consider the Hamiltonian or reversible equations. The main difficulties are the lack of dispersion, due to the compactness of the circle, and the lack of “easy” energy estimates due to the quasi-linear nature the considered equations.

Dans le cadre de ma thèse, je m’intéresse à la simulation haute-fréquence de problèmes ondulatoires harmoniques en milieu non-homogène, qui posent d’importantes difficultés tant au niveau numérique que mathématique. D’un point de vue physique, ces problèmes décrivent la propagation d’ondes acoustiques en écoulement, aussi appelée aéroacoustique.

L’objectif principal est de développer une méthode de calcul parallèle efficace, dite de décomposition de domaine. Le principe est de partitionner le domaine de calcul en sous-domaines, puis d’itérer sur un problème défini aux interfaces qui connecte ces sous-domaines. La convergence de cette méthode dépend fortement de conditions de transmission définies aux interfaces.

Après vous avoir présenté le cadre de l’étude, je vous parlerai des outils mathématiques utilisés pour la construction de conditions de transmission appropriées. Ces outils sont issus de l’analyse microlocale et sont appliqués à l’opérateur Dirichlet-To-Neumann. Ensuite, je vous montrerai une application de la méthode pour un problème industriel 3D: le rayonnement acoustique d’un turboréacteur d’avion.