Évènements

In this series of two lectures we overview some recent progress in the study of the liming shape of large random (non uniform) permutations.
We start by properly introducing the notion of permuton convergence and by exploring its connection with the convergence of proportion of pattern densities, this being a striking feature of the permuton topology.
In the second part, we focus on two examples of permuton convergence, presenting the « Brownian separable permuton » (BSP) and the « Baxter permuton » (BS). We explore the universality of these limiting objects — proved for the BSP and conjectured for the BS — showing that they are the limit of different models of random permutations. Finally, we present their relations with many well (and less-well) known probabilistic objects, like the Continuum Random Tree (CRT) and the coalescent flows of some perturbed versions of the Tanaka SDE.
We will not assume any previous knowledge on random permutations or patterns.

On considère un système de N neurones, dont le potentiel de membrane évolue selon une dynamique de type interaction champ moyen. Plus précisément, pour chaque neurone, ce potentiel décroît à  taux constant, et d’autre part est mis à  zéro lorsque le neurone se décharge (émet un spike), ce qui entraîne également une augmentation du potentiel de tous les autres neurones. Les spike surviennent à  des temps aléatoires, à  un taux lamba(u) qui dépend du potentiel de membrane u. Quand lambda(u) est nul en 0 et dérivable alors, quelque soit N, le système s’arrête presque sà»rement en temps fini, c’est-à -dire qu’il n’y aura qu’un nombre fini de spike, suivi d’une décroissance déterministe du système vers 0. On verra que, sous certaine condition, le système est néanmoins métastable, au sens o๠les points suivants sont satisfaits : 1) le système non-linéaire limite (N->infini) converge vers un unique équilibre non nul ; 2) le temps d’extinction d’un système fini de N neurones est exponentiellement grand en fonction de N ; 3) le potentiel moyen du système s’approche rapidement d’une valeur positive constante, et les temps de sortie de voisinages de cette valeur convergent (quand N->infini) vers la loi exponentielle (caractère sans mémoire, imprévisible de ces déviations du comportement limite). Les démonstrations reposent sur des méthodes de couplage.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html