Évènements

Si estimer la médiane (quantile de niveau 0.5) ou le quartile (quantile de niveau 0.25 ou 0.75) d’une variable aléatoire Y paraît évident lorsque l’on dispose d’un échantillon de taille n, qu’en est-il si le niveau de quantile que l’on cherche à  estimer dépasse 1-1/n ? Dans ce cas, l’usage de la classique statistique d’ordre renvoie systématiquement le maximum de l’échantillon, et mène alors à  une estimation non-consistante du quantile désiré. Grâce à  la théorie des valeurs extrêmes, on trouve dans la littérature des méthodes d’extrapolation pour estimer de tels quantiles. La particularité de ce travail est que la variable d’intérêt Y est impactée par un vecteur de covariables X. L’enjeu est alors d’estimer des quantiles extrêmes de la loi conditionnelle de Y sachant X=x. Pour cela, on propose d’abord une approche de régression purement non-paramétrique, en proposant des estimateurs de quantile et d’expectile (une alternative au quantile que l’on introduira) extrêmes, et en étudiant leurs propriétés asymptotiques. La vitesse de convergence de ces estimateurs se dégradant assez fortement lorsque la taille de la covariable X augmente, on proposera alors quelques modèles sur X et Y permettant de contourner le fléau de la dimension. Quelques applications en assurance ou catastrophe naturelle seront proposées.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

Dans cet exposé, après avoir énoncé un résultat concernant l’unicité et la non-dégénérescence des solutions radiales positives d’une classe d’équations elliptiques semi-linéaires, je m’intéresserai au cas particulier d’une équation de Schrödinger avec une non-linéarité donnée par une différence de puissances, i.e. $g(u)=u^q-u^p-mu u$ pour $p>q>1$ et $mu$ une constante positive. Dans ce cas, la non-dégénérescence de l’unique solution positive permet d’en analyser le comportement dans différents régimes du paramètre $mu$ et donne l’unicité des minimiseurs de l’énergie à  masse fixé dans certains régimes. Mon exposé est basé sur un travail en collaboration avec Mathieu Lewin.