Évènements

En théorie des probabilités, divers processus ponctuels — dont, par exemple, l’ensemble des valeurs propres de l’« ensemble gaussien unitaire » (GUE) — sont dits « déterminantaux », c’est à  dire qu’ils vérifient la propriété suivante : pour x1, …, xn des points, la probabilité que le processus charge simultanément tous ces points est de la forme « det ⸨K(xi, xj)⸩i,j » — o๠le noyau K a parfois une forme particulièrement alambiquée, même pour des processus assez simples… Si vous avez déjà  rencontré cette définition au détour d’une conférence, elle vous aura sans doute semblé fort mystérieuse : pourquoi avoir introduit cette notion de processus déterminantal ; d’o๠vient que certains processus naturels se mettent sous cette forme ; en quoi cette définition est-elle susceptible de donner des propriétés intéressantes ; … ?

J’apporterai quelques éléments de réponse à  ces questions en m’appuyant sur l’article fondateur du concept de processus déterminantal [Benard & Macchi 1973], article qui traitait de… physique quantique ! En effet, il s’avère que les processus déterminantaux sont essentiellement ceux qui décrivent les positions d’un type de particules quantiques appelées fermions, dont l’état vit dans la partie antisymétrique d’une puissance tensorielle d’espace hilbertien (!).

Bien entendu, toutes ces notions seront expliquées au cours de l’exposé, dont la présentation sera orientée selon un angle aussi mathématique que possible. à€ noter que du point de vue technique, il y aura finalement assez peu de probabilités dans ce que je vais raconter (car ici on se contentera de justifier l’intérêt d’étudier les processus déterminantaux : or les probabilités interviennent surtout ensuite, lors de l’étude à  proprement parler) ; par contre, préparez-vous à  subir une bonne dose d’analyse hilbertienne complexe…!

Many mathematical models involve input parameters, which are not precisely known. Global sensitivity analysis aims to identify the parameters whose uncertainty has the largest impact on the variability of a quantity of interest. One of the statistical tools used to quantify the influence of each input variable on the quantity of interest are the Sobol’ sensitivity indices. In this paper, we consider stochastic models described by stochastic differential equations (SDE). We focus the study on mean quantities, defined as the expectation with respect to the Wiener measure of a quantity of interest related to the solution of the SDE itself. Our approach is based on a Feynman-Kac representation of the quantity of interest, from which we get a parametrized partial differential equation (PDE) representation of our initial problem. We then handle the uncertainty on the parametrized PDE using polynomial chaos expansion and a stochastic Galerkin projection.

Talk will be in French

On Euclidean space, the Fourier transform intertwines partial derivatives and coordinate multiplications. As a consequence, solutions to a constant coefficient PDE $p(D)u=0$ are mapped to distributions supported on the variety ${p(x)=0}$. In the context of unitary representation theory of semisimple Lie groups, so-called minimal representations can often be realized on Hilbert spaces of solutions to systems of constant coefficient PDEs whose inner product is difficult to describe (the non-compact picture of a degenerate principal series). The Euclidean Fourier transform provides a new realization on a space of distributions supported on a variety where the invariant inner product is simply an $L^2$-inner product on the variety (by the work of Vergne-Rossi, Sahi, Kobayashi-à˜rsted and Möllers-Schwarz). Recently, similar systems of differential operators have been constructed on Heisenberg groups. In this talk I will explain how to use the Heisenberg group Fourier transform to obtain an $L^2$-model for minimal representations in this context.