La stabilisation des systèmes dynamiques est un problème classique en théorie du contrôle. Dans de nombreux cas provenant de l’ingénierie ou de la physique, seule une mesure partielle de l’état du système est connue. Une approche commune dans ce cas est de s’appuyer sur une estimation de l’état du système sur laquelle on construit notre contrôle. Cependant, l’estimation du système nécessite que la prise de mesure soit une opération injective pour permettre son inversion, c’est l’observabilité du système. Celle-ci dépend fortement de la dynamique. Pour un système dynamique contrôlé non linéaire, cette injectivité est mise à  mal lorsque le système traverse des singularités d’observabilité o๠la reconstruction de l’état est impossible. A ce jour, peu de garanties existent concernant le contrôle et l’estimation simultanée de systèmes admettant des singularités d’observabilité. On discute donc des difficultés posées par ce cas de figure et on explore des stratégies fondées sur les plongements de systèmes dynamiques et les observateurs de dimension infinie.

Zeev Rudnick (Université de Tel-Aviv)

One of the outstanding insights in the field of « Quantum Chaos » is a conjectural description of local statistics of the energy levels of simple quantum systems according to crude properties of the dynamics of classical limit, such as integrability, where one expects Poisson statistics, versus chaotic dynamics, where one expects Random Matrix Theory statistics. These insights were obtained by physicists in the last quarter of the 20-th century. However, mathematicians are far behind in understanding the scope and validity of this theory. The first part of the lecture will be dedicated to an introduction to these conjectures. In the second part, I will describe more recent work on statistics of the minimal gap between the eigenvalues for one such simple integrable system, a rectangular billiard having irrational squared aspect ratio. When the aspect ratio is the « golden ratio », the problem involves some curious and entertaining properties of the Fibonacci sequence.