Dans cet exposé, nous présenterons plusieurs résultats concernant un problème d’optimisation en écologie spatiale et qui peut se formuler ainsi: comment, au sein d’un domaine, répartir les ressources accessibles à une population afin de garantir que cette dernière soit de taille maximale? Dans cet exposé, nous nous concentrerons sur les propriétés qualitatives de ce problème. Nous mettrons en évidence, entre autre, des propriétés de type concentration/fragmentation des ressources: vaut-il mieux répartir le plus possible les ressources ou, au contraire, les concentrer en un unique endroit? Contrairement à plusieurs critères mieux connus (comme la capacité de survie), où la concentration de ressources est toujours favorable, et ce indépendamment de la vitesse de déplacement des individus, pour la taille de la population, nous montrons que, plus cette vitesse de déplacement est faible, plus la fragmentation est un atout. La première partie de l’exposé sera essentiellement descriptive, et nous donnerons des éléments de preuve dans la seconde. Les différents travaux qui seront présentés ont été réalisés en collaboration avec G. Nadin, Y. Privat et D. Ruiz-Balet.

Nicolas Lerner (Sorbonne Université)

Les inégalités de Carleman portent le nom du mathématicien suédois de l’université de Lund, Torsten Carleman (1892-1949). Celui-ci inventa en 1939 une méthode pour démontrer des propriétés de continuation unique pour des solutions d’équations aux dérivées partielles elliptiques. Ces méthodes ont été développées par la suite dans maints domaines des mathématiques. Dans cet exposé, nous suivrons le cours de l’histoire et examinerons pour commencer les résultats classiques d’unicité de Cauchy, dus à Alberto Calderón et Lars Hörmander, obtenus à la fin des années cinquante par la méthode de
Carleman. Nous évoquerons ensuite une partie des développements de cette méthode dans la période plus récente, avec des applications en théorie du contrôle, en théorie spectrale et en mécanique des fluides.