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Je présenterai un modèle de percolation en une dimension introduit par Curien, Kozma, Sidoravicius et Tournier en 2017, la « nouille infinie ». Bien que le modèle soit unidimensionnel et très simple à définir (en utilisant des appariements non croises), la question de l’existence d’une composante infinie est ouverte. Je définirai ce modèle, expliquerai ce qui est connu et conjecturé, puis comment, lors d’un travail en cours avec Paul Thévenin (Uppsala), on est arrivés à regarder la taille de la composante de 0 dans ce modèle de percolation pour répondre à une question de Goulden, Nica et Puder sur le nombre de composantes d’un système méandrique.

In this talk, we will discuss some results on the estimation of the invariant density associated to a multivariate diffusion X = (X_t)_t≥0, assuming that a continuous record of observations (X_t)_0≤t≤T is available. We will see that, when X = (X_t)_t≥0 is the solution of a stochastic differential equation with Levy-type jumps, it is possible to find the parametric convergence rate 1/T in the monodimensional case and log(T)/T when the dimension d is equal to 2. For d ≥ 3 we find the convergence rate (log(T)/T)^γ, where γ is an explicit exponent depending on the dimension d and on β₃, the harmonic mean of the smoothness of the invariant density over the d directions after having removed β₁ and β₂, which are the smallest. Moreover, we obtain a lower bound on the L²-risk for pointwise estimation, with the rate (1/T)^γ. In order to fill the logarithmic gap we consider then X = (X_t)_t≥0 as a solution to a continuous stochastic differential equation. One (surprising) finding is that the convergence rate depends on the fact that β₂ < β₃ or β₂ = β₃. In particular, we show that kernel density estimators achieve the rate (log(T)/T)^γ in the first case and (1/T)^γ in the second. Finally, we prove a minimax lower bound on the L²-risk for the pointwise estimation with the same rates (log(T)/T)^γ or (1/T)^γ, depending on the value of β₂ and β₃.

La description de la dynamique hors équilibre des systèmes quantiques ouverts, c.à.d. couplés à un environnement externe, pose des problèmes pas encore présents aux systèmes classiques. En particulier, le bruit quantique présent dans des équations Langevin est non markovien. Heuristiquement, on peut caractériser un bruit quantique par les propriétés suivants : (i) commutateurs canoniques aux temps égaux (ii) formule de Kubo pour la réponse linéaire (iii) théorème du viriel et surtout (iv) théorème fluctuation-dissipation quantique. Cette dernière propriété garantit pour toute température T>0  la relaxation du système vers un état d’équilibre quantique. Mathématiquement, cette caractérisation du bruit quantique est équivalente à la description traditionnelle de Caldeira et Leggett et de Ford-Kac-Mazur du type système-interaction-bain.

Le modèle sphérique a été introduit, par Berlin et Kac en 1952, afin de disposer d’un système exactement résoluble et capable d’avoir des transitions de phases à l’équilibre dont le propriétés ne se conforment pas à la théorie du champ moyen. Nous analysons ici les transitions de phases dynamiques qui se présentent lors du vieillissement, après une trempe du système initialement désordonné ,vers le point critique ou bien dans la phase ordonnée. Par rapport au cas classique (décrit par un bruit blanc markovien), des nouvelles techniques pour la solution explicite des équations Langevin sont requises. Ainsi on peut étudier la pertinence des propriétés non markoviens du bruit quantique sur la dynamique aux temps longs. Au cas de la dynamique quantique à température T=0, plusieurs différences qualitatives par rapport à la dynamique classique sont mises en évidence.

[1] R. Araújo, S. Wald, MH , J. Stat. Mech. 053101 (2019) [arxiv:1809.08975]

[2] S. Wald, MH, A. Gambassi, J. Stat. Mech. sous presse (2021) [arxiv:2106.08237]

Dans cet exposé, on va s’intéresser aux informations qu’on peut donner sur les zéros d’un polynôme $P$ à coefficients complexes connaissant sa mesure de Mahler $M(P)$. Ces informations concerneront notamment la localisation des zéros, leur distance à certains points du cercle unité, le nombre de zéros réels.

On donnera également des résultats de minoration relatifs à la mesure de Mahler. Au fil de l’exposé, on revisitera ainsi des résultats classiques relatifs aux polynômes de $\mathbb{Z}[X]$, qu’on généralisera aux polynômes à coefficients complexes.

Par exemple, un théorème de A. Schinzel montre que tout polynôme $P$ de $\mathbb{Z}[X]$, totalement réel, de degré $d$, vérifiant $P(-1)P(1)\not=0$, $\vert P(0)\vert=1$, est tel que
\[M(P)\ge \Big(\frac{1+\sqrt 5}{2}\Big)^\frac{d}{2}.\]
Nous montrons que si un polynôme $P$ de $\mathbb{C}[X]$ possède $m\geq 1$ racines réelles et satisfait $P(-1)P(0)P(1) \neq 0$, alors
\[M(P)\ge \Bigg(\frac{\vert P(1)P(-1)\vert^{\frac{1}{m}}+\left(4^{\frac{d}{m}}\vert P(0)\vert^{\frac{2}{m}}+\vert P(1)P(-1)\vert^{\frac{2}{m}}\right)^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{d}{m}}}\Bigg)^{\frac{m}{2}}.\]