Théorie des lieux et probabilités : Quand changer de vision sur la topologie résout plusieurs paradoxes de théorie de la mesure
Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 9 juin 2022 09:15-10:15 Lieu : Oratrice ou orateur : Rémi Peyre Résumé :Nous l’avons tous appris en licence : il n’est pas possible d’étendre la mesure de Lebesgue à toutes les parties de [0, 1] d’une façon qui en conserve les propriétés satisfaisantes ! Il y a même pire : même en retirant la notion de « propriétés satisfaisantes », on ne peut construire aucune mesure de probabilité sur 𝔓([0, 1]) qui étende la mesure de Lebesgue (théorème d’Ulam) ; et sur 𝔓(ℝ3), il n’existe aucune extension finiment additive de la mesure de Lebesgue qui serait invariante par isométrie (paradoxe de Banach-Tarski)… D’autres points sont moins paradoxaux, mais presque aussi frustrants : pourquoi ne peut-on pas définir le support d’une mesure comme « la plus petite partie de mesure pleine » ? Pourquoi n’est-il pas possible de couper ℝ en deux parties parfaitement symétriques (comme on couperait une ficelle avec une lame) autrement qu’« à ensemble négligeable près » ?…
Il s’avère que tous ces problèmes disparaissent lorsque, au lieu de raisonner en termes de parties de ℝd, on raisonne plutôt en termes de lieux. Un « lieu » peut représenter une partie de ℝd quelconque, mais aussi des choses plus exotiques, comme par exemple le voisinage de l’infini ou le germe d’un cône ouvert : il s’agit simplement d’une autre façon d’appréhender la topologie, façon parfois qualifiée de « topologie sans points » : en effet, dans cette approche, il est possible de ne contenir aucun point sans être vide pour autant ! La théorie des lieux, développée initialement pour des raisons n’ayant rien à voir avec les questions de mesurabilité, se trouve néanmoins être parfaitement adaptée à celles-ci, et y résout nombre de paradoxes. Le point central est que la notion d’« être disjoints » au sens des lieux s’avère plus restrictive que la notion usuelle d’« ensembles disjoints » : or, toutes les constructions paradoxales de la théorie de la mesure reposent sur des ensembles dont la disjonction est “pathologique”, ce que la théorie des lieux permet de mettre en valeur !
Dans cet exposé, j’essaierai d’expliquer toutes ces choses, que j’ai découvertes récemment.
Le mouvement brownien itéré ad libitum n'est pas le pseudo-arc
Catégorie d'évènement : Séminaire Probabilités et Statistique Date/heure : 9 juin 2022 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Jérôme Casse (Université Paris-Saclay) Résumé :À partir d’une suite de mouvements browniens bilatères indépendants, Kiss et Solecki ont construit un continuum (un espace métrique connexe, compact et non vide) aléatoire. Ils ont montré que ce continuum est indécomposable p.s. Avec Nicolas Curien, nous avons montré qu’il n’est pas héréditairement indécomposable p.s., et que ce n’est donc pas le pseudo-arc.
Dans cet exposé, j’expliquerai l’ensemble des termes précédents, la construction de ce continuum aléatoire et je vous expliquerai pourquoi il est indécomposable, mais pas héréditairement indécomposable.