Évènements

Dans cet exposé on s’intéressera à la construction de métriques Riemanniennes aléatoires sur les surfaces compactes, qui interviennent en théorie conforme des champs de Liouville. On étudiera la construction rigoureuse de la mesure de Liouville en suivant des travaux de Guillarmou-Kupiainen-Rhodes-Vargas, puis on s’intéressera à des EDPS préservant cette mesure.

Dans ce travail, nous nous intéressons à des observations associées à une localisation spatiale (généralement une position géographique) et nous cherchons à identifier des agrégats spatiaux, i.e. des zones où les observations ont un comportement atypique. Pour cela, nous utilisons des méthodes de balayage spatial.
Après avoir expliqué comment ces méthodes fonctionnent lorsque les observations sont réelles, nous introduisons des statistiques conçues spécifiquement pour le cas multivarié, puis pour le cas fonctionnel.
Ces méthodes sont appliquées sur des jeux de données environnementaux (concentration de métaux polluants) et socio-économiques (taux de chômage).

Dans cet exposé, je présenterai les différents résultats de ma thèse. Ces travaux se situent à l’intersection entre les mathématiques et l’informatique théorique.

Une suite pseudo-aléatoire, bien qu’engendrée par un algorithme déterministe, possède un comportement proche de celui d’une suite aléatoire. Nous nous intéressons à différentes mesures de complexité d’une suite pseudo-aléatoire, qui décrivent le comportement d’une suite aléatoire. De l’autre côté du spectre, les suites automatiques sont des suites profondément non aléatoires. La suite de Thue—Morse et la suite de Rudin—Shapiro sont des célèbres exemples de suites automatiques. Cependant certaines sous-suites des suites automatiques, comme les sous-suites polynomiales, sont bien plus aléatoires.

Dans un premier temps, nous exposerons les résultats des deux premiers articles. Ces deux articles étudient la complexité d’ordre maximal d’une suite, qui quantifie l’imprédictibilité d’une suite par un registre à décalage à rétroaction (FSR). Le premier article répond à une question de Sun et Winterhof (2019) sur la complexité d’ordre maximal de la suite de Thue—Morse le long de tout polynôme unitaire. Nous étudions ensuite le système de numération de Zeckendorf et sa fonction somme des chiffres est une suite morphique non-automatique. La suite de Fibonacci—Thue—Morse est l’analogue à celle de Thue—Morse en base de Zeckendorf. Le deuxième article étudie la complexité d’ordre maximal de cette suite le long de tout polynôme et nous montrons un résultat relativement différent à précédemment.

Ensuite, nous exposerons les résultats du troisième article. Nous nous intéressons à la somme des chiffres binaires des carrés parfaits. Le premier résultat est dans la lignée des travaux de Hare, Laishram et Stoll sur les entiers impairs qui ont le même poids de Hamming que leur carré. Nous résolvons une partie des cas restants de leur étude. Le second résultat porte sur les carrés parfaits de poids 4 et 5 et démontre partiellement une conjecture de Benett, Bugeaud et Mignotte.

La dernière partie de cette thèse porte sur les corrélations d’ordre $k$ de la suite de Rudin—Shapiro. Nous suivons les travaux de Aloui,Mauduit et Mkaouar sur les corrélations de la suite de Thue—Morse le long des premiers et établissons un résultat partiel sur les corrélations de la suite de Rudin—Shapiro le long des premiers.