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À l’instar du triangle de Pascal, d’autres triangles combinatoires (Stirling, Euler) ont des (sortes de) formules de Pascal. On verra au cours de cet exposé comment associer à chacune de ces formules de Pascal, de manière naturelle, une chaîne de Markov liée à un processus stochastique bien connu. Un comportement asymptotique « explicite » de la chaîne de Markov en découle.

Ce groupe de travail à deux voix est basé sur un travail commun avec Alexis Zevio (étudiant à la prepa agrég).

On se donne $(T (n) : n \geq 1)$ un processus d’arbres construits récursivement sommet par sommet (par exemple, le processus de Barabàsi—Albert), que l’on observe à un temps n long. Notre but est de retrouver le sommet initial (Adam). Plus précisément, on veut trouver un sous ensemble de sommets le plus petit possible qui contient Adam avec probabilité au moins $1- \varepsilon$.
Après un aperçu des résultats existants pour les arbres récursifs uniformes et ceux de Barabàsi—Albert, je montrerai que pour trouver Adam, il vaut mieux chercher Adam et Eve.
Travail en collaboration avec Nicolas Curien, Perrine Lacroix, Etienne Lasalle et Vincent Rivoirard.

L’algèbre de Hopf des battages joue un rôle central dans la théorie des chemins rugueux formulée par T. Lyons à la fin du siècle dernier. Ceux-ci sont un substitut des intégrales itérées de Chen lorsque les chemins considérés ne sont pas différentiables, ni même Lipschitziens, mais seulement continus avec une régularité de Hölder.  L’algèbre de Hopf de Butcher-Connes-Kreimer, dont une base est donnée par les forêts enracinées décorées, joue un rôle similaire dans la théorie des chemins rugueux branchés developpée par M. Gubinelli quelques années plus tard. Au cours de cet exposé, je ferai une présentation succincte de la théorie des chemins rugueux, puis j’aborderai d’autres variantes de la notion de chemin rugueux, pilotés par d’autres algèbres de Hopf combinatoires.

Un opérateur de brisure de symétrie (SBO) est un opérateur d’entrelacement d’une représentation d’un groupe à une représentation irréductible d’un sous-groupe. Si $\Pi$ et $\Pi’$ sont en dualité de Howe, l‘espace des opérateurs brisant la symétrie de la représentation de Weil à la représentation $\Pi\otimes\Pi’$ est unidimensionnel. A une constante non-nulle près, dans cet espace il y a donc un unique SBO non trivial. La construction explicite du SBO apporte des informations supplémentaires sur la correspondance de Howe. Dans cet exposé, qui se base sur un projet en cours avec Mark McKee et Tomasz Przebinda (Université de l’Oklahoma), on étudiera les SBO correspondant à des paires duales réductives irréductibles ayant un membre compact. Ce sont des opérateurs pseudo-différentiels, dont nous calculons les symboles de Weyl. On présentera quelques résultats, exemples et applications.