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Les groupes quantiques compacts de matrices sont des généralisations des groupes de Lie compacts dans le contexte de la géométrie non-commutative. Malheureusement, il leur manque certains aspects fondamentaux des groupes classiques, et notamment un analogue de l’algèbre de Lie qui permettrait de définir une structure Riemannienne. Cela dit, on peut aussi retrouver cette structure de façon probabiliste à l’aide du mouvement Brownien. Je présenterai quelques travaux montrant comment cette approche probabiliste peut s’étendre au cadre quantique et éclairer le problème de la structure géométrique de ces groupes quantiques.

Bourgain (2015) a estimé le nombre de nombres premiers avec une
proportion positive de chiffres préassignés en base 2. Nous
rappellerons tout d’abord une généralisation de ce résultat à toute
base $g\geq 2$. Nous présenterons ensuite un résultat plus récent pour
l’ensemble des carrés. Plus précisément, pour toute base $g\geq 2$,
nous obtenons une formule asymptotique pour le nombre de carrés avec
une proportion $c>0$ (explicite) de chiffres préassignés.

Notre preuve suit principalement la stratégie développée par Bourgain
pour les nombres premiers en base 2, avec de nouvelles difficultés
pour les carrés. Elle est fondée sur la méthode du cercle et combine
des techniques d’analyse harmonique avec les propriétés arithmétiques
des carrés et des majorations des sommes de Weyl quadratiques.