Évènements

Le concept de pseudotrajectoires asymptotiques a été développé à la fin des années 90 par M. Benaïm et M. Hirsch. Pour mieux comprendre la dynamique des algorithmes d’approximation stochastique, ils ont eu l’idée fructueuse d’intégrer aux techniques probabilistes classiques des notions de systèmes dynamiques.

Précisément, nous allons nous rendre compte dans le cadre de ce groupe de travail que la propriété de pseudotrajectoire asymptotique (que je n’écrirai pas ici pour maintenir le suspense) peut donner l’impression d’être relativement peu exploitable, de prime abord. Même si des raisonnements probabilistes à notre portée peuvent nous permettre d’obtenir cette propriété pour des processus raisonnables, elle reste un brin mystique.

C’est sans compter sur l’ingéniosité de Benaïm et Hirsch, qui montrent que cette propriété est en fait suffisante pour dire beaucoup de choses sur le comportement asymptotique de nos algorithmes d’approximation stochastique. Il est possible de relier le comportement limite de ces trajectoires aléatoires aux ensembles de points intrinsèquement récurrents en chaîne pour un certain flot déterministe.

We will introduce the setting of random dynamical systems with absorption, as for example induced by iterated function systems or stochastic differential equations on a bounded domain with killing at the boundary. We will show how to embed the process conditioned to never being absorbed, the Q-process, into the framework of random dynamical systems, allowing us to study multiplicative ergodic properties and the notion of Kolmogorov-Sinai entropy. Finally, we will elaborate on the relation between entropy and Lyapunov exponents for this setting.