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Groupe de Travail "Surfaces K3" : Espaces de modules

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Géométrie Date/heure : 11 décembre 2023 10:15-12:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Benoît Cadorel Résumé :
J’exposerai deux points de vue principaux sur la construction d’espaces de modules de surfaces K3. D’une part, la théorie du schéma de Hilbert permet pour chaque entier d, de construire un espace de modules grossiers pour les K3 admettant une polarisation de carré 2d (dans la catégorie des espaces algébriques en général, mais on sait aussi construire cet espace comme variété quasi-projective dans le cadre complexe). D’autre part, la théorie des variations de structures de Hodge permet de construire un espace de modules fin pour les K3 marquées. Cette construction est rendue possible par le théorème de Torelli global joint au théorème de surjectivité de l’application des périodes, dont j’expliquerai les énoncés.
Je donnerai aussi quelques éléments permettant de décrire géométriquement cet espace, qui apparaît comme variété complexe non-séparée revêtant le domaine de périodes des surfaces K3. On verra notamment que l’on peut retrouver les espaces de modules de K3 polarisées comme quotients par des réseaux arithmétiques d’hypersurfaces adéquates dans cet espace de modules fin.

Sur la positivité maximale du cotangent logarithmique associé à un arrangement d’hyperplans

Catégorie d'évènement : Séminaire de géométrie complexe Date/heure : 11 décembre 2023 14:00-15:00 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Clara Dérand Résumé :

Une variété complexe est dite hyperbolique (au sens de Brody) si elle ne contient pas de courbe entière (non constante). Soit (X,D) est une paire logarithmique lisse, avec X une variété projective lisse et D un diviseur à croisements normaux. Le fibré cotangent logarithmique associé ne peut jamais être ample (on a un quotient trivial en restriction à chaque composante de D). On peut cependant montrer que si ce fibré est « le plus ample possible » (on dira qu’il est ample modulo D), alors le complémentaire X\D est hyperbolique. Plus généralement, on peut étudier la position des courbes entières via la positivité du cotangent logarithmique.

Dans cet exposé, on considérera le cas où D est un arrangement d’hyperplans en position générale dans Pn. On montrera une condition géométrique sur la position des hyperplans pour que le cotangent logarithmique soit ample modulo D, en construisant explicitement des droites d’obstruction. En particulier, on verra que pour au moins 4n-2 hyperplans génériques, le cotangent logarithmique est ample modulo D.