Évènements

La platitude différentielle est une propriété intrinsèque de certain systèmes dynamiques (EDO,EDP). Un
système est dit différentiellement plat si l’on peut paramétrer ses trajectoires par une fonction et ses dérivées,
appelée sortie plate. Cette propriété peut être exploitée pour prouver la contrôlabilité de certains systèmes.
Je commencerai par introduire la méthode en dimension finie puis je montrerai comment on peut l’exploiter
pour démontrer la contrôlabilité à 0 de l’équation de la chaleur en une dimension d’espace. Dans la seconde
moitié de cet exposé, je présenterai certain travaux issus de ma thèse exploitant cette propriété. Il pourra
s’agir de résultats de contrôlabilité sur des systèmes d’EDP-EDO à frontière libre où l’on souhaite garantir
certaines contraintes physiques de signe ou des résultats de contrôlabilité pour des systèmes d’équations de
la chaleur en cascade.

The aim of this article is to analyze numerical schemes using two-layer neural networks with infinite width for the resolution of the high-dimensional Poisson partial differential equation (PDE) with Neumann boundary condition. Using Barron’s representation of the solution with a probability measure defined on the set of parameter values, the
energy is minimized thanks to a gradient curve dynamic on the 2-Wasserstein space of the set of parameter values defining the neural network. Inspired by the work from Bach and Chizat, we prove that if the gradient curve converges, then the represented function is the solution of the elliptic equation considered. In contrast to previous works, the activation function we use here is not assumed to be homogeneous to obtain global convergence of the flow. Numerical experiments are given to show the potential of the method.