Évènements

Titre  : Sur l’homologie relative des certains sous-groupes
arithmetiques de SU(3)

Dans une première partie de cet exposé, nous allons rappeler un certain nombre de théorèmes
classiques permettant d’appliquer la théorie géométrique des groupes à l’étude de leur homologie.
Dans une deuxième partie, on se concentrera sur l’homologie des certains groupes de nature arithmétique dans le contexte des corps globaux de caractéristique positive. Plus précisément, soit k un tel corps et soit G = SU3 le k-groupe non-déployé défini par une forme hermitienne en 3 variables.
On décrira alors les groupes d’homologie relative de certains sous-groupes arithmétiques G de G(k)
modulo un système de représentants U des classes de conjugaison de ses sous-groupes maximaux
unipotents. Autrement dit, cela permettra de comparer les groupes d’homologie de G au co-produit
des groupes d’homologie des éléments de U.

Hyperkähler metrics on K3 surfaces give rise to rational curves of degree 2 in the K3 period domain, socalled « twistor cycles ». While these are used in the proofs of many deep results, their existence also implies that the group of isometries of the K3 lattice does not act properly discontinuously on the period domain, preventing a moduli space of unpolarised complex K3 surfaces to exist. I will report on work in progress with Martin Schwald (Cologne), in which we study the cycle space of the K3 period domain. This space parametrises twistor cycles as part of its real locus, but also all their degenerations and complex deformations as submanifolds of the period domain. I will explain how many foundational problems regarding the moduli theory of K3s disappear when passing to the cycle space and also indicate how the original version of Penrose’s Twistor Theory (the « nonlinear graviton » construction) can be used to understand what kind of geometric structure a small complex deformation of an honest twistor line corresponds to.