Évènements

À chaque polynôme unitaire sans facteur carré $D$ d’un anneau de polynômes $\mathbb{F}_q[t]$ nous pouvons associer un caractère réel quadratique $\chi_D$ et puis une fonction L de Dirichlet $L(s,\chi_D)$. Inspirés par l’article de Y. Lamzouri sur les constantes d’Euler-Kronecker d’extensions quadratiques de corps de nombres, nous étudions la famille des valeurs $-L'(1,\chi_D)/L(1,\chi_D)$ lorsque $D$ parcourt l’ensemble des polynômes unitaires sans facteur carré de $\mathbb{F}_q[t]$. Tout d’abord, nous calculons uniformément leurs moments entiers sur un intervalle particulier. Puis, en utilisant un modèle aléatoire, nous montrons que les valeurs $-L'(1,\chi_D)/L(1,\chi_D)$ possèdent une distribution limite lorsque le degré de $D$ tend vers l’infini, où la fonction de distribution admet une fonction de densité lisse. Nous prouvons également un théorème de discrépance pour la convergence des fréquences des valeurs $-L'(1,\chi_D)/L(1,\chi_D)$ vers cette fonction de distribution. Notre théorème de discrépance fournit de l’information non négligeable à propos des petites valeurs de $-L'(1,\chi_D)/L(1,\chi_D)$. Nous déduisons aussi des résultats analogues pour les constantes d’Euler-Kronecker d’extensions quadratiques. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Amir Akbary (University of Lethbridge).

We consider the problem of quantizing the positive nilradical of a complex semisimple Lie algebra of finite rank, together with a certain fixed direct sum decomposition. The decompositions we consider are in one-to-one correspondence with total orders on the simple roots, and exhibit the nilradical as a direct sum of graded modules for appropriate Levi factors. We show that this situation can be quantized equivariantly as a finite-dimensional subspace within the positive part of the corresponding quantized enveloping algebra. Furthermore, we show that such subspaces give rise to left coideals, with the possible exception of components corresponding to some exceptional Lie algebras, and this property singles them out uniquely. Finally, we discuss how to use these quantizations to construct covariant first-order differential calculi on quantum flag manifolds, which coincide with those introduced by Heckenberger-Kolb in the irreducible case.