À propos de quelques modèles de permutations aléatoires non-uniformes

Il s’agit d’une soutenance blanche de thèse, en préparation à la véritable soutenance du 2 juillet.

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Cette thèse s’intéresse aux propriétés asymptotiques de plusieurs modèles de permutations aléatoires non-uniformes. Le premier modèle a une saveur géométrique par essence, et a gagné en popularité avec la théorie de limites d’échelle dite des permutons. Nous appelons ces permutations aléatoires des échantillons de permutons. Pour ce modèle, nous obtenons divers résultats concernant les plus longues sous-suites croissantes, les tableaux issus de la correspondance de Robinson-Schensted, et l’arbre binaire de recherche associé à la permutation.
Les deux autres modèles qui interviennent sont de nature davantage combinatoire. D’abord, nous étudions les permutations aléatoires dans des classes de conjugaison données, et plus généralement les permutations aléatoires invariantes par conjugaison. Pour ce modèle, nous proposons une nouvelle construction géométrique qui permet d’obtenir des résultats sur les plus longues sous-suites croissantes, la forme de Robinson-Schensted, les nombres de records, et les décomptes de motifs. Ensuite nous étudions les permutations aléatoires de Mallows, qui sont obtenues en biaisant la distribution de probabilité selon le nombre d’inversions. Nous nous intéressons à trois régimes distincts pour le paramètre de biais ; dans chaque cas, nous utilisons des propriétés propres au régime pour trouver les asymptotiques des décomptes de motifs.