Estimations explicites pour les sommes de fonctions arithmétiques, ou l’utilisation optimale de l’information spectrale finie sur les séries de Dirichlet

Travail en collaboration avec A. Chirre.

Soit $F(s) = \sum_n a_n n^{-s}$ une série de Dirichlet. Supposons que l’on dispose d’un prolongement analytique de $F(s)$, ainsi que d’informations sur les pôles de $F(s)$ pour $|\Im s|\leq T$, où $T$ est une grande constante. Quelle est la meilleure manière d’exploiter ces données pour obtenir des estimations explicites des sommes $\sum_{n\leq x} a_n$?

Le cas de la fonction de Mertens $M(x) = \sum_{n\leq x} \mu(n)$ illustre à quel point cette question de base est restée ouverte. Il serait naturel de penser que borner $M(x)$ revient essentiellement à estimer $\psi(x) = \sum_{n\leq x} \Lambda(n)$. Pourtant, des bornes explicites assez satisfaisantes pour $\psi(x)-x$ sont connues depuis longtemps, alors que l’obtention de bonnes bornes pour $M(x)$ était un problème notoirement récalcitrant.

Nous donnons une méthode optimale pour utiliser l’information spectrale sur les pôles de $F(s)$ avec $|\Im s|\leq T$. Elle permet en particulier d’obtenir des bornes sur la fonction de Mertens nettement plus fortes que celles de la littérature, ainsi qu’une amélioration substantielle des estimations de ψ(x) pour des valeurs modérées de x.

Nous utilisons des fonctions de type « Beurling–Selberg » : plus précisément, un approximant optimal dû à Carneiro–Littmann, ainsi qu’un majorant/minorant optionnel dû à Graham–Vaaler. Notre procédure présente des points de contact avec le théorème de Wiener–Ikehara ainsi qu’avec des travaux de Ramana et Ramaré, mais ne dépend d’aucun résultat de la littérature classique sur les estimations explicites en théorie analytique des nombres.